Theorem reuind 3040

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
reuind.2	⊢ (x = y → A = B)

Assertion

Ref	Expression
reuind	⊢ ((∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ C ∧ φ)) → ∃!z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A))

Distinct variable groups:   y,z,A   x,z,B   x,y,C,z   φ,y,z   ψ,x,z

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → A = B)
2	1	eleq1d 2419	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A ∈ C ↔ B ∈ C))
3		reuind.1	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((A ∈ C ∧ φ) ↔ (B ∈ C ∧ ψ)))
5	4	cbvexv 2003	. . . . 5 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) ↔ ∃y(B ∈ C ∧ ψ))
6		r19.41v 2765	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ C (z = B ∧ ψ) ↔ (∃z ∈ C z = B ∧ ψ))
7	6	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z ∈ C (z = B ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z ∈ C z = B ∧ ψ))
8		rexcom4 2879	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ C ∃y(z = B ∧ ψ) ↔ ∃y∃z ∈ C (z = B ∧ ψ))
9		risset 2662	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ C ↔ ∃z ∈ C z = B)
10	9	anbi1i 676	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ C ∧ ψ) ↔ (∃z ∈ C z = B ∧ ψ))
11	10	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃y(B ∈ C ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z ∈ C z = B ∧ ψ))
12	7, 8, 11	3bitr4ri 269	. . . . 5 ⊢ (∃y(B ∈ C ∧ ψ) ↔ ∃z ∈ C ∃y(z = B ∧ ψ))
13	5, 12	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) ↔ ∃z ∈ C ∃y(z = B ∧ ψ))
14		eqeq2 2362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = B → (z = A ↔ z = B))
15	14	imim2i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → (((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)))
16		bi2 189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z = A ↔ z = B) → (z = B → z = A))
17	16	imim2i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)) → (((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = B → z = A)))
18		an31 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ z = B) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ (A ∈ C ∧ φ)))
19	18	imbi1i 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ (A ∈ C ∧ φ)) → z = A))
20		impexp 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = B → z = A)))
21		impexp 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ∧ (A ∈ C ∧ φ)) → z = A) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
22	19, 20, 21	3bitr3i 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = B → z = A)) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
23	17, 22	sylib 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)) → ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
24	15, 23	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
25	24	2alimi 1560	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → ∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
26		19.23v 1891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
27		an12 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ↔ (B ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)))
28		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = B → (z ∈ C ↔ B ∈ C))
29	28	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z = B ∧ ψ) → (z ∈ C ↔ B ∈ C))
30	29	pm5.32ri 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)) ↔ (B ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)))
31	27, 30	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ↔ (z ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)))
32	31	exbii 1582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y(z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ↔ ∃y(z ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)))
33		19.42v 1905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y(z ∈ C ∧ (z = B ∧ ψ)) ↔ (z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)))
34	32, 33	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃y(z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) ↔ (z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)))
35	34	imbi1i 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃y(z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
36	26, 35	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
37	36	albii 1566	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ ∀x((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
38		19.21v 1890	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
39	37, 38	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
40	25, 39	sylib 188	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → ((z ∈ C ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
41	40	exp3a 425	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → (z ∈ C → (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A))))
42	41	reximdvai 2725	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → (∃z ∈ C ∃y(z = B ∧ ψ) → ∃z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
43	13, 42	syl5bi 208	. . 3 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) → (∃x(A ∈ C ∧ φ) → ∃z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A)))
44	43	imp 418	. 2 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ C ∧ φ)) → ∃z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A))
45		pm4.24 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ C ∧ φ) ↔ ((A ∈ C ∧ φ) ∧ (A ∈ C ∧ φ)))
46	45	biimpi 186	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ C ∧ φ) → ((A ∈ C ∧ φ) ∧ (A ∈ C ∧ φ)))
47		prth 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → (((A ∈ C ∧ φ) ∧ (A ∈ C ∧ φ)) → (z = A ∧ w = A)))
48		eqtr3 2372	. . . . . . . 8 ⊢ ((z = A ∧ w = A) → z = w)
49	46, 47, 48	syl56 30	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → ((A ∈ C ∧ φ) → z = w))
50	49	alanimi 1562	. . . . . 6 ⊢ ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = w))
51		19.23v 1891	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = w) ↔ (∃x(A ∈ C ∧ φ) → z = w))
52	51	biimpi 186	. . . . . . 7 ⊢ (∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = w) → (∃x(A ∈ C ∧ φ) → z = w))
53	52	com12 27	. . . . . 6 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) → (∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = w) → z = w))
54	50, 53	syl5 28	. . . . 5 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) → ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → z = w))
55	54	a1d 22	. . . 4 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) → ((z ∈ C ∧ w ∈ C) → ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → z = w)))
56	55	ralrimivv 2706	. . 3 ⊢ (∃x(A ∈ C ∧ φ) → ∀z ∈ C ∀w ∈ C ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → z = w))
57	56	adantl 452	. 2 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ C ∧ φ)) → ∀z ∈ C ∀w ∈ C ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → z = w))
58		eqeq1 2359	. . . . 5 ⊢ (z = w → (z = A ↔ w = A))
59	58	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ (z = w → (((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ↔ ((A ∈ C ∧ φ) → w = A)))
60	59	albidv 1625	. . 3 ⊢ (z = w → (∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ↔ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)))
61	60	reu4 3031	. 2 ⊢ (∃!z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ↔ (∃z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀z ∈ C ∀w ∈ C ((∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ C ∧ φ) → w = A)) → z = w)))
62	44, 57, 61	sylanbrc 645	1 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ C ∧ φ) ∧ (B ∈ C ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ C ∧ φ)) → ∃!z ∈ C ∀x((A ∈ C ∧ φ) → z = A))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615  ∃wrex 2616  ∃!wreu 2617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-v 2862

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