MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cubic2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cubic2 24475
Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices 𝐺 and 𝑇 of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic2.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cubic2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
cubic2.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
cubic2.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
cubic2.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
cubic2.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
cubic2.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
cubic2.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
cubic2.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
cubic2.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
cubic2.m (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
cubic2.n (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
cubic2.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cubic2 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝜑,𝑟   𝑇,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟)   𝐺(𝑟)

Proof of Theorem cubic2
StepHypRef Expression
1 cubic2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cubic2.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3 3nn0 11254 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
4 expcl 12818 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
61, 5mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
7 cubic2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
82sqcld 12946 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
97, 8mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
106, 9addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
11 cubic2.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211, 2mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
13 cubic2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1412, 13addcld 10003 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ ℂ)
1510, 14addcld 10003 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) ∈ ℂ)
16 cubic2.z . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
1715, 1, 16diveq0ad 10755 . . 3 (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0))
1810, 14, 1, 16divdird 10783 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)))
196, 9, 1, 16divdird 10783 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)))
205, 1, 16divcan3d 10750 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) = (𝑋↑3))
217, 8, 1, 16div23d 10782 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2)))
2220, 21oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
2319, 22eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
2412, 13, 1, 16divdird 10783 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)))
2511, 2, 1, 16div23d 10782 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐶 / 𝐴) · 𝑋))
2625oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
2724, 26eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
2823, 27oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
2918, 28eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
3029eqeq1d 2623 . . 3 (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
3117, 30bitr3d 270 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
327, 1, 16divcld 10745 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3311, 1, 16divcld 10745 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
3413, 1, 16divcld 10745 . . 3 (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) ∈ ℂ)
35 cubic2.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3635, 1, 16divcld 10745 . . 3 (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ∈ ℂ)
373a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
3835, 1, 16, 37expdivd 12962 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)))
39 cubic2.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
4039oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)))
41 cubic2.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
42 2cn 11035 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
43 expcl 12818 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
447, 3, 43sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
45 mulcl 9964 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
4642, 44, 45sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
47 9cn 11052 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
48 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
4947, 1, 48sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
507, 11mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5149, 50mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
5246, 51subcld 10336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
53 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
54 7nn 11134 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ ℕ
5553, 54decnncl 11462 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℕ
5655nncni 10974 . . . . . . . . . 10 27 ∈ ℂ
571sqcld 12946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5857, 13mulcld 10004 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
59 mulcl 9964 . . . . . . . . . 10 ((27 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ) → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
6056, 58, 59sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
6152, 60addcld 10003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) ∈ ℂ)
6241, 61eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
63 cubic2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
6462, 63addcld 10003 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 𝐺) ∈ ℂ)
65 2cnd 11037 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66 expcl 12818 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
671, 3, 66sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
68 2ne0 11057 . . . . . . 7 2 ≠ 0
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
70 3z 11354 . . . . . . . 8 3 ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
721, 16, 71expne0d 12954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑3) ≠ 0)
7364, 65, 67, 69, 72divdiv32d 10770 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2))
7462, 63, 67, 72divdird 10783 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) = ((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))))
7574oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
7673, 75eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
7738, 40, 763eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
7863, 67, 72divcld 10745 . . 3 (𝜑 → (𝐺 / (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
7963, 67, 72sqdivd 12961 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
80 cubic2.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
8180oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)))
8262sqcld 12946 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
83 4cn 11042 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
84 cubic2.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
857sqcld 12946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
86 3cn 11039 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
871, 11mulcld 10004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
88 mulcl 9964 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8986, 87, 88sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9085, 89subcld 10336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
9184, 90eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
92 expcl 12818 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
9391, 3, 92sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
94 mulcl 9964 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
9583, 93, 94sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
9667sqcld 12946 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ∈ ℂ)
97 sqne0 12870 . . . . . . . 8 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
9867, 97syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
9972, 98mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ≠ 0)
10082, 95, 96, 99divsubdird 10784 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
10162, 67, 72sqdivd 12961 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
102 2z 11353 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
1041, 16, 103expne0d 12954 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ≠ 0)
10591, 57, 104, 37expdivd 12962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)))
10642, 86mulcomi 9990 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 3) = (3 · 2)
107106oveq2i 6615 . . . . . . . . . . 11 (𝐴↑(2 · 3)) = (𝐴↑(3 · 2))
10853a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1091, 37, 108expmuld 12951 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑(2 · 3)) = ((𝐴↑2)↑3))
1101, 108, 37expmuld 12951 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑(3 · 2)) = ((𝐴↑3)↑2))
111107, 109, 1103eqtr3a 2679 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2)↑3) = ((𝐴↑3)↑2))
112111oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
113105, 112eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
114113oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
11583a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116115, 93, 96, 99divassd 10780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
117114, 116eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)))
118101, 117oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
119100, 118eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
12079, 81, 1193eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
12185, 89, 57, 104divsubdird 10784 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
12284oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)))
1237, 1, 16sqdivd 12961 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐴↑2)))
1241sqvald 12945 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
125124oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
12611, 1, 1, 16, 16divcan5d 10771 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
127125, 126eqtr2d 2656 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
128127oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
12986a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
130129, 87, 57, 104divassd 10780 . . . . . 6 (𝜑 → ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
131128, 130eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)))
132123, 131oveq12d 6622 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
133121, 122, 1323eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))))
13452, 60, 67, 72divdird 10783 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
13541oveq1d 6619 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)))
1367, 1, 16, 37expdivd 12962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑3) = ((𝐵↑3) / (𝐴↑3)))
137136oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
13865, 44, 67, 72divassd 10780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
139137, 138eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)))
14047a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
1411, 50mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
142140, 141, 67, 72divassd 10780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
143140, 1, 50mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) = (9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))))
144143oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
14550, 57, 1, 104, 16divcan5d 10771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
146 df-3 11024 . . . . . . . . . . . . . 14 3 = (2 + 1)
147146oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
148 expp1 12807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
1491, 53, 148sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
150147, 149syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
15157, 1mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
152150, 151eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑3) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
153152oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))))
1547, 1, 11, 1, 16, 16divmuldivd 10786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
155124oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
156154, 155eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
157145, 153, 1563eqtr4rd 2666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
158157oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
159142, 144, 1583eqtr4rd 2666 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
160139, 159oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
16146, 51, 67, 72divsubdird 10784 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
162160, 161eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
163150oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)))
16413, 1, 57, 16, 104divcan5d 10771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)) = (𝐷 / 𝐴))
165163, 164eqtr2d 2656 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)))
166165oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (27 · (𝐷 / 𝐴)) = (27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
16756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑27 ∈ ℂ)
168167, 58, 67, 72divassd 10780 . . . . . 6 (𝜑 → ((27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)) = (27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
169166, 168eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → (27 · (𝐷 / 𝐴)) = ((27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)))
170162, 169oveq12d 6622 . . . 4 (𝜑 → (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (27 · (𝐷 / 𝐴))) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
171134, 135, 1703eqtr4d 2665 . . 3 (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (27 · (𝐷 / 𝐴))))
172 cubic2.0 . . . 4 (𝜑𝑇 ≠ 0)
17335, 1, 172, 16divne0d 10761 . . 3 (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ≠ 0)
17432, 33, 34, 2, 36, 77, 78, 120, 133, 171, 173mcubic 24474 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3))))
175 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = (0↑3))
176 3nn 11130 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
177 0exp 12835 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
178176, 177ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0↑3) = 0
179175, 178syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = 0)
180 0ne1 11032 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
181180a1i 11 . . . . . . 7 (𝑟 = 0 → 0 ≠ 1)
182179, 181eqnetrd 2857 . . . . . 6 (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) ≠ 1)
183182necon2i 2824 . . . . 5 ((𝑟↑3) = 1 → 𝑟 ≠ 0)
184 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ)
18535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℂ)
1861adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
188184, 185, 186, 187divassd 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴) = (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))
189188eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)) = ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴))
190189oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
1917adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
192184, 185mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ∈ ℂ)
193191, 192, 186, 187divdird 10783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
194190, 193eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
19591adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
196195, 186, 187divcld 10745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / 𝐴) ∈ ℂ)
197 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ≠ 0)
198172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ≠ 0)
199184, 185, 197, 198mulne0d 10623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ≠ 0)
200196, 192, 186, 199, 187divcan7d 10773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)))
201195, 186, 186, 187, 187divdiv1d 10776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
202186sqvald 12945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
203202oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
204201, 203eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴↑2)))
205204, 188oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))))
206195, 186, 192, 187, 199divdiv32d 10770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
207200, 205, 2063eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
208194, 207oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
209191, 192addcld 10003 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
210195, 192, 199divcld 10745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
211209, 210, 186, 187divdird 10783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
212208, 211eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴))
213212oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3))
214209, 210addcld 10003 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ∈ ℂ)
21586a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ∈ ℂ)
216 3ne0 11059 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
217216a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ≠ 0)
218214, 186, 215, 187, 217divdiv1d 10776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)))
219 mulcom 9966 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
220186, 86, 219sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
221220oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
222213, 218, 2213eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
223222negeqd 10219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
224223eqeq2d 2631 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
225224anassrs 679 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
226183, 225sylan2 491 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℂ) ∧ (𝑟↑3) = 1) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
227226pm5.32da 672 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℂ) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
228227rexbidva 3042 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
22931, 174, 2283bitrd 294 1 (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  7c7 11019  9c9 11021  0cn0 11236  cz 11321  cdc 11437  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  cubic  24476
  Copyright terms: Public domain W3C validator