Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 40831
Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 15762, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 14987 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 14987 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 15762), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 15762). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 11259 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11261 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11463 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11143 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11469 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11266 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11262 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11267 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11172 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11630 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11624 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11489 . 2 139 < 841
13 3nn 11137 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11469 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11632 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11497 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11132 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11037 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15698 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 40830 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 14985 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 11046 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 9945 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 11104 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 10179 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 4626 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 264 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 313 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 14987 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 11059 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 11049 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 11573 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 10179 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2643 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 4626 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 264 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 313 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 11138 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 11151 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 11118 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 15700 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 11141 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 11463 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 11140 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 11258 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 11264 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2621 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 11473 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 11265 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 11055 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulid1i 9993 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 11053 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 6622 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 11559 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2643 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 11619 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 9998 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 11121 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 10179 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 11530 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 11519 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 11160 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 15067 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 10982 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 11469 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 11260 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 11463 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2621 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 11473 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 11463 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 11042 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 6621 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 10981 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulid1i 9993 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 11103 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 11530 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2643 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2621 . . . . 5 11 = 11
8273mulid2i 9994 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 10162 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 6622 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addid1i 10174 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2643 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 6620 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 11123 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 10179 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 11473 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2647 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 11517 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 11519 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 11626 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 11497 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 15067 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 11463 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2621 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 11255 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulid1i 9993 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 6622 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addid1i 10174 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2643 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 10177 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 6620 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addid2i 10175 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2647 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 11519 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 11497 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 15067 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 11469 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2621 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 11473 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 11263 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 11057 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 11051 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addid2i 10175 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 11566 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 11612 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 9998 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 11530 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 11517 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 11497 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 15067 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 11469 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mulid2i 9994 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 6622 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2643 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 11530 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 11517 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 11627 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 11497 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 15067 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 11469 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2621 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 11102 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 11592 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 9998 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 11486 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 11109 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 11593 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 9998 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 11486 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 11528 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 11136 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 11497 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 15067 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 15758 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  7c7 11026  8c8 11027  9c9 11028  cdc 11444  cdvds 14914  cprime 15316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-prm 15317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator