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Theorem log2ublem3 24592
Description: Lemma for log2ub 24593. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 11062 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 14693 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 14370 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 14393 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2643 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 6621 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 11047 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 11266 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 12826 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 11052 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 11056 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 9997 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 9997 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 10178 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2643 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 11043 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 10178 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 4648 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 11259 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 11261 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 11264 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11464 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 11464 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 11260 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 11464 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 11464 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2621 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 11256 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addid2i 10176 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 11262 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addid1i 10175 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mulid2i 9995 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 6620 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 11084 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 6620 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 11283 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 11464 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 11268 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 11103 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 11267 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 11086 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 11060 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 12814 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 11622 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 15717 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 11058 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 11621 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 9999 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mulid2i 9995 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 40, 53, 54decmul1 11537 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 15717 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 11464 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2621 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2621 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 11603 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 9999 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 11555 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 10180 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11105 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 10180 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 6621 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 11263 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 11601 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 9999 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 11050 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 11106 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 10180 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 11531 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 6620 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 11464 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 11256 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addid1i 10175 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 11518 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 11474 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 11131 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 6622 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 11108 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 11586 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 11487 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 11518 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 11520 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 11616 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 9999 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 11557 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 11532 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 11618 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 9999 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 11539 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 11541 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2654 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 24591 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 11464 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 11464 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 11041 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2621 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2621 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 11265 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 11464 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 11464 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 11107 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2621 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2621 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2621 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 11487 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 11575 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 10180 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 11532 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 11522 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 11487 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 11548 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 11527 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 12891 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 11132 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 10001 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2649 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 6621 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 9997 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 10183 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 11464 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 6622 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 11122 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addid2i 10176 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 11531 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 11518 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 11531 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 11539 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 11541 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 6621 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2643 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 11032 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulid1i 9994 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 6620 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2646 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 6620 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2647 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 24591 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 11464 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 11464 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 11464 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 11087 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2621 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2621 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2621 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2621 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 11487 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 11554 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 11532 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addid2i 10176 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 11522 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 11104 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 6621 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 10001 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 11620 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 9999 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 6621 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2643 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 11034 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 11129 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 6620 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2646 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 6620 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2647 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 24591 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 11464 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 11464 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 11464 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 11089 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2621 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 11118 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 10180 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 11531 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 9997 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulid1i 9994 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 9998 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 12812 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 6622 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 9999 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 6620 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 11036 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2646 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 6620 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2653 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 24591 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2621 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2621 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2621 . . . . 5 265 = 265
201 00id 10163 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 11474 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2643 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2621 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2643 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 6622 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 11054 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 11593 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 9999 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 11487 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 11520 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 9999 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 6620 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 11505 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2643 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 11520 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 11474 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2647 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 11520 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 11606 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 9999 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 11541 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 4643 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  7c7 11027  8c8 11028  9c9 11029  0cn0 11244  cdc 11445  ...cfz 12276  cexp 12808  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
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