Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 15152
 Description: Lemma for rpnnen2 15154. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 3875 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
5 ssel2 3739 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
64, 5sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
72, 3, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
98rpnnen2lem6 15147 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
101, 7, 9syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 3nn 11378 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nnrecre 11249 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
147nnnn0d 11543 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 13071 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
178rpnnen2lem6 15147 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
182, 7, 17syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19 nnrp 12035 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20 rpreccl 12050 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) ∈ ℝ+
227nnzd 11673 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 13073 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2421, 22, 23sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2524rpred 12065 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11471 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
273snssd 4485 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴𝐵))
282ssdifd 3889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
2927, 28sstrd 3754 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
307snssd 4485 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31 ssconb 3886 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
321, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
3329, 32mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34 difssd 3881 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
358rpnnen2lem7 15148 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
378rpnnen2lem9 15150 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
3913recni 10244 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
40 expp1 13061 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4225recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43 3cn 11287 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
44 3ne0 11307 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
45 divrec 10893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
4948oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5143, 44pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52 divsubdir 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1573 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54 3m1e2 11329 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
5554oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 10950 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2791 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 11434 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 divcan7 10926 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1565 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6459, 63syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6549, 64eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6665oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
6726recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
6867addid2d 10429 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
7036, 69breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71 rphalflt 12053 . . . . . 6 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10387 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74 eluznn 11951 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
757, 74sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
768rpnnen2lem1 15142 . . . . . . . . 9 (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7730, 76sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7875, 77syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7978sumeq2dv 14632 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
80 uzid 11894 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8122, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8281snssd 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ𝑚))
83 vex 3343 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
84 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
8584eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
8683, 85ralsn 4366 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
8742, 86sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
88 ssid 3765 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚)
8988a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚))
9089orcd 406 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin))
91 sumss2 14656 . . . . . . 7 ((({𝑚} ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9282, 87, 90, 91syl21anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9384sumsn 14674 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
947, 42, 93syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
9579, 92, 943eqtr2d 2800 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
963, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑚𝐴)
9796snssd 4485 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
988rpnnen2lem7 15148 . . . . . 6 (({𝑚} ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9997, 2, 7, 98syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10095, 99eqbrtrrd 4828 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 10389 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10210, 101gtned 10364 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
103 rpnnen2.5 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
104 rpnnen2.6 . . . . 5 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 15151 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
106105ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
107106necon3ad 2945 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
108102, 107mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝜓)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  3c3 11263  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025  ↑cexp 13054  Σcsu 14615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15153
 Copyright terms: Public domain W3C validator