MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 14878
Description: Lemma for rpnnen2 14880. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 3710 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
5 ssel2 3578 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
64, 5sylan2 491 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
72, 3, 6syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
98rpnnen2lem6 14873 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
101, 7, 9syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 3nn 11130 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nnrecre 11001 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
147nnnn0d 11295 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 12817 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
178rpnnen2lem6 14873 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
182, 7, 17syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19 nnrp 11786 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20 rpreccl 11801 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) ∈ ℝ+
227nnzd 11425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 12819 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2421, 22, 23sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2524rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11223 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
273snssd 4309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴𝐵))
282ssdifd 3724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
2927, 28sstrd 3593 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
307snssd 4309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31 ssconb 3721 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
321, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
3329, 32mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34 difssd 3716 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
358rpnnen2lem7 14874 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
378rpnnen2lem9 14876 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
3913recni 9996 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
40 expp1 12807 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4225recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43 3cn 11039 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
44 3ne0 11059 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
45 divrec 10645 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
4948oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5143, 44pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52 divsubdir 10665 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54 3m1e2 11081 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
5554oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 10702 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2652 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 11186 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 divcan7 10678 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6459, 63syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6549, 64eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6665oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
6726recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
6867addid2d 10181 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
7036, 69breqtrd 4639 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71 rphalflt 11804 . . . . . 6 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10139 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74 eluznn 11702 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
757, 74sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
768rpnnen2lem1 14868 . . . . . . . . 9 (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7730, 76sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7875, 77syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7978sumeq2dv 14367 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
80 uzid 11646 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8122, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8281snssd 4309 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ𝑚))
83 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
84 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
8584eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
8683, 85ralsn 4193 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
8742, 86sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
88 ssid 3603 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚)
8988a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚))
9089orcd 407 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin))
91 sumss2 14390 . . . . . . 7 ((({𝑚} ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9282, 87, 90, 91syl21anc 1322 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9384sumsn 14405 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
947, 42, 93syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
9579, 92, 943eqtr2d 2661 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
963, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑚𝐴)
9796snssd 4309 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
988rpnnen2lem7 14874 . . . . . 6 (({𝑚} ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9997, 2, 7, 98syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10095, 99eqbrtrrd 4637 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 10141 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10210, 101gtned 10116 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
103 rpnnen2.5 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
104 rpnnen2.6 . . . . 5 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 14877 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
106105ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
107106necon3ad 2803 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
108102, 107mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cexp 12800  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  14879
  Copyright terms: Public domain W3C validator