Theorem rpnnen2lem11 15577

Description: Lemma for rpnnen2 15579. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem11	⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
2		rpnnen2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		rpnnen2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		eldifi 4103	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
5		ssel2 3962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
7	2, 3, 6	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
8		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	8	rpnnen2lem6 15572	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 7, 9	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11		3nn 11717	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nnrecre 11680	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14	7	nnnn0d 11956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 13447	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
17	8	rpnnen2lem6 15572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	2, 7, 17	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19		nnrp 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20		rpreccl 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
21	11, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ+
22	7	nnzd 12087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 13449	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
24	21, 22, 23	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 11885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
27	3	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
28	2	ssdifd 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
29	27, 28	sstrd 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
30	7	snssd 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31		ssconb 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
32	1, 30, 31	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
33	29, 32	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34		difssd 4109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
35	8	rpnnen2lem7 15573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
37	8	rpnnen2lem9 15575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
38	7, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
39	13	recni 10655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
40		expp1 13437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
41	39, 14, 40	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
42	25	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43		3cn 11719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		3ne0 11744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
45		divrec 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
46	43, 44, 45	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
48	41, 47	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
49	48	oveq1d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	43, 44	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52		divsubdir 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
53	43, 50, 51, 52	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54		3m1e2 11766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
55	54	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
56	43, 44	dividi 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
57	56	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
58	53, 55, 57	3eqtr3ri 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
59	58	oveq2i 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60		2cnne0 11848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61		divcan7 11349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
62	60, 51, 61	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
63	42, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
64	59, 63	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
65	49, 64	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
66	65	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
67	26	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
68	67	addid2d 10841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
69	38, 66, 68	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
70	36, 69	breqtrd 5092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71		rphalflt 12419	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
72	24, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
73	10, 26, 25, 70, 72	lelttrd 10798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74		eluznn 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
75	7, 74	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	8	rpnnen2lem1 15567	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
77	30, 75, 76	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
78	77	sumeq2dv 15060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79		uzid 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
80	22, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
81	80	snssd 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
82		vex 3497	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑚 ∈ V
83		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
84	83	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
85	82, 84	ralsn 4619	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
86	42, 85	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87		ssidd 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
88	87	orcd 869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin))
89		sumss2 15083	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
90	81, 86, 88, 89	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
91	83	sumsn 15101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
92	7, 42, 91	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
93	78, 90, 92	3eqtr2d 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
94	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ 𝐴)
95	94	snssd 4742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
96	8	rpnnen2lem7 15573	. . . . . 6 ⊢ (({𝑚} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
97	95, 2, 7, 96	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
98	93, 97	eqbrtrrd 5090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
99	10, 16, 18, 73, 98	ltletrd 10800	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
100	10, 99	gtned 10775	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
101		rpnnen2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
102		rpnnen2.6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
103	8, 2, 1, 3, 101, 102	rpnnen2lem10 15576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
104	103	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
105	104	necon3ad 3029	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106	100, 105	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  𝒫 cpw 4539  {csn 4567   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390  ↑cexp 13430  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15578