Theorem 2idlridld 14187

Description: A two-sided ideal is a right ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idllidld.1	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2idlridld.o	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlridld	|- ( ph -> I e. (LIdeal ` O ) )

Proof of Theorem 2idlridld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		eqid 2204	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
3	2	2idlmex 14181	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> R e. _V )
4		eqid 2204	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
5		2idlridld.o	. . . . 5 |- O = (oppr ` R )
6		eqid 2204	. . . . 5 |- (LIdeal ` O ) = (LIdeal ` O )
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14183	. . . 4 |- ( R e. _V -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` O ) ) )
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` O ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2283	. 2 |- ( ph -> I e. ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` O ) ) )
10	9	elin2d 3362	1 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   i^i cin 3164   ` cfv 5268  opp_rcoppr 13747  LIdealclidl 14147  2Idealc2idl 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-ip 12846  df-lssm 14033  df-sra 14115  df-rgmod 14116  df-lidl 14149  df-2idl 14180

This theorem is referenced by: (None)