Theorem df2idl2rng 14768

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	|- U = (2Ideal ` R )
df2idl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
df2idl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   U( x, y)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
2		df2idl2rng.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		df2idl2rng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14741	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` R ) <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )
5		eqid 2234	. . . 4 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6	5, 2, 3	isridlrng 14742	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) <-> A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) ) )
8		eqid 2234	. . 3 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
9		df2idl2rng.u	. . 3 |- U = (2Ideal ` R )
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14765	. 2 |- ( I e. U <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
11		r19.26-2 2674	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   .rcmulr 13375  SubGrpcsubg 13968  Rngcrng 14160  opp_rcoppr 14295  LIdealclidl 14727  2Idealc2idl 14759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-subg 13971  df-cmn 14087  df-abl 14088  df-mgp 14149  df-rng 14161  df-oppr 14296  df-lssm 14613  df-sra 14695  df-rgmod 14696  df-lidl 14729  df-2idl 14760

This theorem is referenced by:  df2idl2  14769