Theorem df2idl2rng 14528

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	|- U = (2Ideal ` R )
df2idl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
df2idl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   U( x, y)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
2		df2idl2rng.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		df2idl2rng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14501	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` R ) <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )
5		eqid 2231	. . . 4 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6	5, 2, 3	isridlrng 14502	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) <-> A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) ) )
8		eqid 2231	. . 3 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
9		df2idl2rng.u	. . 3 |- U = (2Ideal ` R )
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14525	. 2 |- ( I e. U <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
11		r19.26-2 2662	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   .rcmulr 13166  SubGrpcsubg 13759  Rngcrng 13951  opp_rcoppr 14086  LIdealclidl 14487  2Idealc2idl 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-subg 13762  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-rng 13952  df-oppr 14087  df-lssm 14373  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489  df-2idl 14520

This theorem is referenced by:  df2idl2  14529