Theorem df2idl2rng 14584

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	|- U = (2Ideal ` R )
df2idl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
df2idl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   U( x, y)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
2		df2idl2rng.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		df2idl2rng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14557	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` R ) <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )
5		eqid 2231	. . . 4 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6	5, 2, 3	isridlrng 14558	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) <-> A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) ) )
8		eqid 2231	. . 3 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
9		df2idl2rng.u	. . 3 |- U = (2Ideal ` R )
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14581	. 2 |- ( I e. U <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
11		r19.26-2 2663	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   .rcmulr 13222  SubGrpcsubg 13815  Rngcrng 14007  opp_rcoppr 14142  LIdealclidl 14543  2Idealc2idl 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-subg 13818  df-cmn 13934  df-abl 13935  df-mgp 13996  df-rng 14008  df-oppr 14143  df-lssm 14429  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-2idl 14576

This theorem is referenced by:  df2idl2  14585