Theorem df2idl2rng 14955

Description: Alternate (the usual textbook) definition of a two-sided ideal of a non-unital ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under left- and right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2rng.u	|- U = (2Ideal ` R )
df2idl2rng.b	|- B = ( Base ` R )
df2idl2rng.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
df2idl2rng	|- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, I, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   U( x, y)

Proof of Theorem df2idl2rng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
2		df2idl2rng.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		df2idl2rng.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4	1, 2, 3	dflidl2rng 14928	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` R ) <-> A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I ) )
5		eqid 2238	. . . 4 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6	5, 2, 3	isridlrng 14929	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) <-> A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
7	4, 6	anbi12d 477	. 2 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) ) )
8		eqid 2238	. . 3 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
9		df2idl2rng.u	. . 3 |- U = (2Ideal ` R )
10	1, 8, 5, 9	2idlelb 14952	. 2 |- ( I e. U <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
11		r19.26-2 2680	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) <-> ( A. x e. B A. y e. I ( x .x. y ) e. I /\ A. x e. B A. y e. I ( y .x. x ) e. I ) )
12	7, 10, 11	3bitr4g 223	1 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( I e. U <-> A. x e. B A. y e. I ( ( x .x. y ) e. I /\ ( y .x. x ) e. I ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   .rcmulr 13492  SubGrpcsubg 14030  Rngcrng 14339  opp_rcoppr 14482  LIdealclidl 14914  2Idealc2idl 14946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-subg 14033  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-rng 14340  df-oppr 14483  df-lssm 14800  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916  df-2idl 14947

This theorem is used by:  df2idl2  14956