Theorem 2idlvalg 14340

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlval.o	|- O = (oppr ` R )
2idlval.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlval.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlvalg	|- ( R e. V -> T = ( I i^i J ) )

Proof of Theorem 2idlvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. 2 |- T = (2Ideal ` R )
2		df-2idl 14337	. . 3 |- 2Ideal = ( r e. _V |-> ( (LIdeal ` r ) i^i (LIdeal ` (oppr ` r ) ) ) )
3		fveq2 5589	. . . . 5 |- ( r = R -> (LIdeal ` r ) = (LIdeal ` R ) )
4		2idlval.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` R )
5	3, 4	eqtr4di 2257	. . . 4 |- ( r = R -> (LIdeal ` r ) = I )
6		fveq2 5589	. . . . . . 7 |- ( r = R -> (oppr ` r ) = (oppr ` R ) )
7		2idlval.o	. . . . . . 7 |- O = (oppr ` R )
8	6, 7	eqtr4di 2257	. . . . . 6 |- ( r = R -> (oppr ` r ) = O )
9	8	fveq2d 5593	. . . . 5 |- ( r = R -> (LIdeal ` (oppr ` r ) ) = (LIdeal ` O ) )
10		2idlval.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
11	9, 10	eqtr4di 2257	. . . 4 |- ( r = R -> (LIdeal ` (oppr ` r ) ) = J )
12	5, 11	ineq12d 3379	. . 3 |- ( r = R -> ( (LIdeal ` r ) i^i (LIdeal ` (oppr ` r ) ) ) = ( I i^i J ) )
13		elex 2785	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
14		lidlex 14310	. . . . 5 |- ( R e. V -> (LIdeal ` R ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2293	. . . 4 |- ( R e. V -> I e. _V )
16		inex1g 4188	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( I i^i J ) e. _V )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( R e. V -> ( I i^i J ) e. _V )
18	2, 12, 13, 17	fvmptd3 5686	. 2 |- ( R e. V -> (2Ideal ` R ) = ( I i^i J ) )
19	1, 18	eqtrid 2251	1 |- ( R e. V -> T = ( I i^i J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   i^i cin 3169   ` cfv 5280  opp_rcoppr 13904  LIdealclidl 14304  2Idealc2idl 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-lssm 14190  df-sra 14272  df-rgmod 14273  df-lidl 14306  df-2idl 14337

This theorem is referenced by:  2idlelb  14342  2idllidld  14343  2idlridld  14344  2idl0  14349  2idl1  14350  qus1  14363  crng2idl  14368