Theorem 2idlvalg 14207

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlval.o	|- O = (oppr ` R )
2idlval.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlval.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlvalg	|- ( R e. V -> T = ( I i^i J ) )

Proof of Theorem 2idlvalg

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. 2 |- T = (2Ideal ` R )
2		df-2idl 14204	. . 3 |- 2Ideal = ( r e. _V |-> ( (LIdeal ` r ) i^i (LIdeal ` (oppr ` r ) ) ) )
3		fveq2 5575	. . . . 5 |- ( r = R -> (LIdeal ` r ) = (LIdeal ` R ) )
4		2idlval.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` R )
5	3, 4	eqtr4di 2255	. . . 4 |- ( r = R -> (LIdeal ` r ) = I )
6		fveq2 5575	. . . . . . 7 |- ( r = R -> (oppr ` r ) = (oppr ` R ) )
7		2idlval.o	. . . . . . 7 |- O = (oppr ` R )
8	6, 7	eqtr4di 2255	. . . . . 6 |- ( r = R -> (oppr ` r ) = O )
9	8	fveq2d 5579	. . . . 5 |- ( r = R -> (LIdeal ` (oppr ` r ) ) = (LIdeal ` O ) )
10		2idlval.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
11	9, 10	eqtr4di 2255	. . . 4 |- ( r = R -> (LIdeal ` (oppr ` r ) ) = J )
12	5, 11	ineq12d 3374	. . 3 |- ( r = R -> ( (LIdeal ` r ) i^i (LIdeal ` (oppr ` r ) ) ) = ( I i^i J ) )
13		elex 2782	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
14		lidlex 14177	. . . . 5 |- ( R e. V -> (LIdeal ` R ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2291	. . . 4 |- ( R e. V -> I e. _V )
16		inex1g 4179	. . . 4 |- ( I e. _V -> ( I i^i J ) e. _V )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( R e. V -> ( I i^i J ) e. _V )
18	2, 12, 13, 17	fvmptd3 5672	. 2 |- ( R e. V -> (2Ideal ` R ) = ( I i^i J ) )
19	1, 18	eqtrid 2249	1 |- ( R e. V -> T = ( I i^i J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   i^i cin 3164   ` cfv 5270  opp_rcoppr 13771  LIdealclidl 14171  2Idealc2idl 14203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-ip 12869  df-lssm 14057  df-sra 14139  df-rgmod 14140  df-lidl 14173  df-2idl 14204

This theorem is referenced by:  2idlelb  14209  2idllidld  14210  2idlridld  14211  2idl0  14216  2idl1  14217  qus1  14230  crng2idl  14235