Theorem 2idllidld 14383

Description: A two-sided ideal is a left ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idllidld.1	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
2idllidld	|- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )

Proof of Theorem 2idllidld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		eqid 2207	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
3	2	2idlmex 14378	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> R e. _V )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
5		eqid 2207	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
6		eqid 2207	. . . . 5 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14380	. . . 4 |- ( R e. _V -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2286	. 2 |- ( ph -> I e. ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	elin1d 3370	1 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   ` cfv 5290  opp_rcoppr 13944  LIdealclidl 14344  2Idealc2idl 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-lssm 14230  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-lidl 14346  df-2idl 14377

This theorem is referenced by:  df2idl2  14386  2idlss  14391  qusmul2  14406