Theorem 2idllidld 14491

Description: A two-sided ideal is a left ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idllidld.1	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
2idllidld	|- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )

Proof of Theorem 2idllidld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
2		eqid 2229	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
3	2	2idlmex 14486	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> R e. _V )
4		eqid 2229	. . . . 5 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
6		eqid 2229	. . . . 5 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14488	. . . 4 |- ( R e. _V -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> (2Ideal ` R ) = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2308	. 2 |- ( ph -> I e. ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	9	elin1d 3393	1 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   ` cfv 5321  opp_rcoppr 14051  LIdealclidl 14452  2Idealc2idl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-lssm 14338  df-sra 14420  df-rgmod 14421  df-lidl 14454  df-2idl 14485

This theorem is referenced by:  df2idl2  14494  2idlss  14499  qusmul2  14514