Theorem addge02 8581

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge02	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Proof of Theorem addge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge01 8580	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
2		recn 8093	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		recn 8093	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		addcom 8244	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	5	breq2d 4071	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( A + B ) <-> A <_ ( B + A ) ) )
7	1, 6	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  add20  8582  addge02d  8642  nn0addge2  9377  difelfznle  10292  subfzo0  10408