Theorem addge01 8544

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge01	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Proof of Theorem addge01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8071	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leadd2 8503	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1336	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	3	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5		recn 8057	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addridd 8220	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + 0 ) = A )
8	7	breq1d 4053	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + 0 ) <_ ( A + B ) <-> A <_ ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   + caddc 7927   <_ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112

This theorem is referenced by:  addge02  8545  subge02  8550  addge01d  8605  nn0addge1  9340  elfzmlbp  10253  flqbi2  10432