Theorem addge01 8630

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge01	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Proof of Theorem addge01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8157	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leadd2 8589	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1358	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	3	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5		recn 8143	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addridd 8306	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + 0 ) = A )
8	7	breq1d 4093	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + 0 ) <_ ( A + B ) <-> A <_ ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   <_ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  addge02  8631  subge02  8636  addge01d  8691  nn0addge1  9426  elfzmlbp  10340  fzoun  10391  flqbi2  10523