Theorem nn0addge2 8876

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addge2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( N + A ) )

Proof of Theorem nn0addge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 8838	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		nn0ge0 8854	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
3	1, 2	jca 302	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. RR /\ 0 <_ N ) )
4		addge02 8102	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> A <_ ( N + A ) ) )
5	4	biimp3a 1291	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR /\ 0 <_ N ) -> A <_ ( N + A ) )
6	5	3expb 1150	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 <_ N ) ) -> A <_ ( N + A ) )
7	3, 6	sylan2 282	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( N + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   RRcr 7499   0cc0 7500   + caddc 7503   <_ cle 7673   NN0cn0 8829

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-fv 5067  df-ov 5709  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-inn 8579  df-n0 8830

This theorem is referenced by:  nn0addge2i  8878  nn0pzuz  9232  nn0opthlem2d  10308