Theorem nn0addge2 9344

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addge2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( N + A ) )

Proof of Theorem nn0addge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 9306	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		nn0ge0 9322	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. RR /\ 0 <_ N ) )
4		addge02 8548	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> A <_ ( N + A ) ) )
5	4	biimp3a 1358	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR /\ 0 <_ N ) -> A <_ ( N + A ) )
6	5	3expb 1207	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 <_ N ) ) -> A <_ ( N + A ) )
7	3, 6	sylan2 286	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> A <_ ( N + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   + caddc 7930   <_ cle 8110   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  nn0addge2i  9346  nn0pzuz  9710  nn0opthlem2d  10868  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  mplsubgfilemcl  14494