ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addge2 Unicode version

Theorem nn0addge2 8876
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0addge2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( N  +  A ) )

Proof of Theorem nn0addge2
StepHypRef Expression
1 nn0re 8838 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 nn0ge0 8854 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
31, 2jca 302 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N ) )
4 addge02 8102 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  A  <_  ( N  +  A ) ) )
54biimp3a 1291 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  0  <_  N )  ->  A  <_  ( N  +  A
) )
653expb 1150 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )
)  ->  A  <_  ( N  +  A ) )
73, 6sylan2 282 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( N  +  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   RRcr 7499   0cc0 7500    + caddc 7503    <_ cle 7673   NN0cn0 8829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-fv 5067  df-ov 5709  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-inn 8579  df-n0 8830
This theorem is referenced by:  nn0addge2i  8878  nn0pzuz  9232  nn0opthlem2d  10308
  Copyright terms: Public domain W3C validator