Theorem difelfznle 10468

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10445	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		nn0addcl 9530	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
3	2	nn0zd 9697	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6		elfzelz 10358	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
7		zsubcl 9617	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
9	8	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
10	6	zred 9699	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
12		elfzel2 10356	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
13	12	zred 9699	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
15		nn0readdcl 9558	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
16	15	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. RR )
17	1, 16	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
19		elfzle2 10361	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
20		elfzle1 10360	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
21		nn0re 9504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
22		nn0re 9504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
23	21, 22	anim12ci 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
26		addge02 8746	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
28	20, 27	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N <_ ( M + N ) )
29	19, 28	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) )
30		letr 8355	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) -> K <_ ( M + N ) ) )
31	30	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) /\ ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) ) -> K <_ ( M + N ) )
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1277	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ ( M + N ) )
33	32	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> K <_ ( M + N ) )
34		zre 9580	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
35	21, 22	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
36	35	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
37	1, 36	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
38		readdcl 8252	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M + N ) e. RR )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
40	34, 39	anim12ci 339	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
41	6, 40	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
42	41	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
43		subge0 8748	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
45	33, 44	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> 0 <_ ( ( M + N ) - K ) )
46		elnn0z 9589	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( M + N ) - K ) ) )
47	9, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. NN0 )
48		elfz3nn0 10448	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
49	48	3ad2ant1 1045	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> N e. NN0 )
50		elfzelz 10358	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
51		zltnle 9622	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
52	51	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
53		zre 9580	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
54		ltle 8360	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
55	53, 34, 54	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
56	52, 55	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
57	6, 50, 56	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
58	57	3impia 1227	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> M <_ K )
59	50	zred 9699	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. RR )
60	59	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
61	60, 11, 14	leadd1d 8812	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
62	61	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M + N ) <_ ( K + N ) )
64	18, 11, 14	lesubadd2d 8817	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
65	64	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
66	63, 65	mpbird 167	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) <_ N )
67		elfz2nn0 10445	. 2 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( M + N ) - K ) <_ N ) )
68	47, 49, 66, 67	syl3anbrc 1208	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   RRcr 8125   0cc0 8126   + caddc 8129   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ...cfz 10341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342

This theorem is referenced by: (None)