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Theorem difelfznle 9511
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9493 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 nn0addcl 8678 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 8836 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
433adant3 963 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
51, 4sylbi 119 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
6 elfzelz 9409 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
7 zsubcl 8761 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  K
)  e.  ZZ )
85, 6, 7syl2anr 284 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
983adant3 963 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
106zred 8838 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
1110adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
12 elfzel2 9407 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 8838 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
1413adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
15 nn0readdcl 8702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
16153adant3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
171, 16sylbi 119 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
1817adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
19 elfzle2 9411 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
20 elfzle1 9410 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
21 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
22 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2321, 22anim12ci 332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24233adant3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
251, 24sylbi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
26 addge02 7930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2820, 27mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  <_  ( M  +  N
) )
2919, 28anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )
30 letr 7547 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
) )
3130imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  /\  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )  ->  K  <_  ( M  +  N
) )
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1177 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
33323adant3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
34 zre 8724 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
3521, 22anim12i 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
36353adant3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
371, 36sylbi 119 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
38 readdcl 7447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
4034, 39anim12ci 332 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
416, 40sylan 277 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
42413adant3 963 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
43 subge0 7932 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( M  +  N
)  -  K )  <-> 
K  <_  ( M  +  N ) ) )
4442, 43syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( 0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
)  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
4533, 44mpbird 165 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  0  <_  (
( M  +  N
)  -  K ) )
46 elnn0z 8733 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
) ) )
479, 45, 46sylanbrc 408 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  NN0 )
48 elfz3nn0 9496 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
49483ad2ant1 964 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
50 elfzelz 9409 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
51 zltnle 8766 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
5251ancoms 264 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
53 zre 8724 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
54 ltle 7551 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5553, 34, 54syl2anr 284 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5652, 55sylbird 168 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K
) )
576, 50, 56syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K ) )
58573impia 1140 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  M  <_  K
)
5950zred 8838 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  RR )
6059adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
6160, 11, 14leadd1d 7992 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
62613adant3 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6358, 62mpbid 145 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  +  N )  <_  ( K  +  N )
)
6418, 11, 14lesubadd2d 7997 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
65643adant3 963 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6663, 65mpbird 165 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
)
67 elfz2nn0 9493 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
) )
6847, 49, 66, 67syl3anbrc 1127 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
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