Theorem difelfznle 10520

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10497	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		nn0addcl 9577	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
3	2	nn0zd 9745	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1048	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6		elfzelz 10407	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
7		zsubcl 9664	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
9	8	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
10	6	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
12		elfzel2 10405	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
13	12	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
15		nn0readdcl 9605	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
16	15	3adant3 1048	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. RR )
17	1, 16	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
18	17	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
19		elfzle2 10411	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
20		elfzle1 10410	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
21		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
22		nn0re 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
23	21, 22	anim12ci 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3adant3 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
26		addge02 8791	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
28	20, 27	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N <_ ( M + N ) )
29	19, 28	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) )
30		letr 8398	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) -> K <_ ( M + N ) ) )
31	30	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) /\ ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) ) -> K <_ ( M + N ) )
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1281	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ ( M + N ) )
33	32	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> K <_ ( M + N ) )
34		zre 9627	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
35	21, 22	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
36	35	3adant3 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
37	1, 36	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
38		readdcl 8295	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M + N ) e. RR )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
40	34, 39	anim12ci 339	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
41	6, 40	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
42	41	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
43		subge0 8793	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
45	33, 44	mpbird 167	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> 0 <_ ( ( M + N ) - K ) )
46		elnn0z 9636	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( M + N ) - K ) ) )
47	9, 45, 46	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. NN0 )
48		elfz3nn0 10500	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
49	48	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> N e. NN0 )
50		elfzelz 10407	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
51		zltnle 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
52	51	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
53		zre 9627	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
54		ltle 8403	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
55	53, 34, 54	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
56	52, 55	sylbird 170	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
57	6, 50, 56	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
58	57	3impia 1231	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> M <_ K )
59	50	zred 9747	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. RR )
60	59	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
61	60, 11, 14	leadd1d 8857	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
62	61	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
63	58, 62	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M + N ) <_ ( K + N ) )
64	18, 11, 14	lesubadd2d 8862	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
65	64	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
66	63, 65	mpbird 167	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) <_ N )
67		elfz2nn0 10497	. 2 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( M + N ) - K ) <_ N ) )
68	47, 49, 66, 67	syl3anbrc 1212	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by: (None)