Theorem addge02d 7929

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
addge02d	|- ( ph -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Proof of Theorem addge02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		addge02 7872	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   RRcr 7270   0cc0 7271   + caddc 7274   <_ cle 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-iota 4937  df-fv 4980  df-ov 5597  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449

This theorem is referenced by:  nn2ge  8366  uzsubsubfz  9370  resqrexlemover  10284  resqrexlemdecn  10286