Theorem addge02 8566

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge02	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem addge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge01 8565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
2		recn 8078	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 8078	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		addcom 8229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
6	5	breq2d 4063	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))
7	1, 6	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945   + caddc 7948   ≤ cle 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133

This theorem is referenced by:  add20  8567  addge02d  8627  nn0addge2  9362  difelfznle  10277  subfzo0  10393