ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addge02 GIF version

Theorem addge02 8255
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
addge02 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem addge02
StepHypRef Expression
1 addge01 8254 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
2 recn 7773 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 7773 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 addcom 7919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
52, 3, 4syl2an 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
65breq2d 3945 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))
71, 6bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  cc 7638  cr 7639  0cc0 7640   + caddc 7643  cle 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-cnv 4551  df-iota 5092  df-fv 5135  df-ov 5781  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826
This theorem is referenced by:  add20  8256  addge02d  8316  nn0addge2  9044  difelfznle  9939  subfzo0  10046
  Copyright terms: Public domain W3C validator