Theorem addpipqqslem 7572

Description: Lemma for addpipqqs 7573. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addpipqqslem	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )

Proof of Theorem addpipqqslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7531	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 7531	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		addclpi 7530	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
5	4	an42s 591	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
6		mulclpi 7531	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ D e. N. ) -> ( B .N D ) e. N. )
7	6	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( B .N D ) e. N. )
8		opelxpi 4752	. 2 |- ( ( ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. /\ ( B .N D ) e. N. ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4718  (class class class)co 6010   N.cnpi 7475   +N cpli 7476   .N cmi 7477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-ni 7507  df-pli 7508  df-mi 7509

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7573