Theorem addpipqqslem 7632

Description: Lemma for addpipqqs 7633. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addpipqqslem	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )

Proof of Theorem addpipqqslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7591	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ D e. N. ) -> ( A .N D ) e. N. )
2		mulclpi 7591	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B .N C ) e. N. )
3		addclpi 7590	. . . 4 |- ( ( ( A .N D ) e. N. /\ ( B .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ D e. N. ) /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
5	4	an42s 593	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. )
6		mulclpi 7591	. . 3 |- ( ( B e. N. /\ D e. N. ) -> ( B .N D ) e. N. )
7	6	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( B .N D ) e. N. )
8		opelxpi 4763	. 2 |- ( ( ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) e. N. /\ ( B .N D ) e. N. ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )
9	5, 7, 8	syl2anc 411	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> <. ( ( A .N D ) +N ( B .N C ) ) , ( B .N D ) >. e. ( N. X. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   <.cop 3676   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   N.cnpi 7535   +N cpli 7536   .N cmi 7537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7633