Theorem addpipqqslem 7272

Description: Lemma for addpipqqs 7273. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addpipqqslem	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)), (𝐵 ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))

Proof of Theorem addpipqqslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
2		mulclpi 7231	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
3		addclpi 7230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)) ∈ N)
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)) ∈ N)
5	4	an42s 579	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)) ∈ N)
6		mulclpi 7231	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐷) ∈ N)
7	6	ad2ant2l 500	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → (𝐵 ·N 𝐷) ∈ N)
8		opelxpi 4615	. 2 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐷) ∈ N) → ⟨((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)), (𝐵 ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))
9	5, 7, 8	syl2anc 409	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ⟨((𝐴 ·N 𝐷) +N (𝐵 ·N 𝐶)), (𝐵 ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128  ⟨cop 3563   × cxp 4581  (class class class)co 5818  Ncnpi 7175   +_N cpli 7176   ·_N cmi 7177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-ni 7207  df-pli 7208  df-mi 7209

This theorem is referenced by:  addpipqqs  7273