ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq Unicode version
Theorem mulcmpblnq 7593
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6032 . 2 |- ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
2 mulclpi 7553 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ F e. N. ) -> ( A .N F ) e. N. )
3 mulclpi 7553 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
42, 3anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ F e. N. ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
54an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
6 mulclpi 7553 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ R e. N. ) -> ( C .N R ) e. N. )
7 mulclpi 7553 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
86, 7anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ R e. N. ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
98an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
105, 9anim12i 338 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
1110an4s 592 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
12 enqbreq 7581 . . . 4 |- ( ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
14 simplll 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> A e. N. )
15 simprll 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> F e. N. )
16 simplrr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
17 mulcompig 7556 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
1817adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
19 mulasspig 7557 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
2019adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
21 simprrr 542 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
22 mulclpi 7553 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
2322adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 6212 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) )
25 simpllr 536 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
26 simprlr 540 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
27 simplrl 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> C e. N. )
28 simprrl 541 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> R e. N. )
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 6212 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
3024, 29eqeq12d 2245 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
3113, 30bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
321, 31imbitrrid 156 1 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   <.cop 3673   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023   N.cnpi 7497   .N cmi 7499   ~Q ceq 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-ni 7529  df-mi 7531  df-enq 7572
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7598
  Copyright terms: Public domain W3C validator