ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq Unicode version

Theorem mulcmpblnq 7169
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. ( A  .N  F ) ,  ( B  .N  G
) >.  ~Q  <. ( C  .N  R ) ,  ( D  .N  S
) >. ) )

Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5776 . 2  |-  ( ( ( A  .N  D
)  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S
)  =  ( G  .N  R ) )  ->  ( ( A  .N  D )  .N  ( F  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
2 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  F  e.  N. )  ->  ( A  .N  F
)  e.  N. )
3 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
42, 3anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  F  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  F )  e. 
N.  /\  ( B  .N  G )  e.  N. ) )
54an4s 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  F )  e. 
N.  /\  ( B  .N  G )  e.  N. ) )
6 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  R  e.  N. )  ->  ( C  .N  R
)  e.  N. )
7 mulclpi 7129 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
86, 7anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  R  e.  N. )  /\  ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  R )  e. 
N.  /\  ( D  .N  S )  e.  N. ) )
98an4s 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  R )  e. 
N.  /\  ( D  .N  S )  e.  N. ) )
105, 9anim12i 336 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  N.  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  F )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .N  R
)  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
) )
1110an4s 577 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  F )  e.  N.  /\  ( B  .N  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .N  R
)  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
) )
12 enqbreq 7157 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .N  F )  e.  N.  /\  ( B  .N  G
)  e.  N. )  /\  ( ( C  .N  R )  e.  N.  /\  ( D  .N  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  F ) ,  ( B  .N  G ) >.  ~Q  <. ( C  .N  R ) ,  ( D  .N  S ) >.  <->  ( ( A  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( B  .N  G
)  .N  ( C  .N  R ) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .N  F ) ,  ( B  .N  G
) >.  ~Q  <. ( C  .N  R ) ,  ( D  .N  S
) >. 
<->  ( ( A  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  R
) ) ) )
14 simplll 522 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
15 simprll 526 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  N. )
16 simplrr 525 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
17 mulcompig 7132 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1817adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
19 mulasspig 7133 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
2019adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
21 simprrr 529 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
22 mulclpi 7129 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2322adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 5948 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .N  F )  .N  ( D  .N  S
) )  =  ( ( A  .N  D
)  .N  ( F  .N  S ) ) )
25 simpllr 523 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
26 simprlr 527 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
27 simplrl 524 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
28 simprrl 528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  N. )
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 5948 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  R
) )  =  ( ( B  .N  C
)  .N  ( G  .N  R ) ) )
3024, 29eqeq12d 2152 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  F )  .N  ( D  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  G )  .N  ( C  .N  R ) )  <-> 
( ( A  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
3113, 30bitrd 187 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .N  F ) ,  ( B  .N  G
) >.  ~Q  <. ( C  .N  R ) ,  ( D  .N  S
) >. 
<->  ( ( A  .N  D )  .N  ( F  .N  S ) )  =  ( ( B  .N  C )  .N  ( G  .N  R
) ) ) )
321, 31syl5ibr 155 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
N.  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  N.  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .N  D )  =  ( B  .N  C )  /\  ( F  .N  S )  =  ( G  .N  R
) )  ->  <. ( A  .N  F ) ,  ( B  .N  G
) >.  ~Q  <. ( C  .N  R ) ,  ( D  .N  S
) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   N.cnpi 7073    .N cmi 7075    ~Q ceq 7080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq 7148
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7174
  Copyright terms: Public domain W3C validator