ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq Unicode version
Theorem mulcmpblnq 7385
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5900 . 2 |- ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
2 mulclpi 7345 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ F e. N. ) -> ( A .N F ) e. N. )
3 mulclpi 7345 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
42, 3anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ F e. N. ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
54an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
6 mulclpi 7345 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ R e. N. ) -> ( C .N R ) e. N. )
7 mulclpi 7345 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
86, 7anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ R e. N. ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
98an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
105, 9anim12i 338 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
1110an4s 588 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
12 enqbreq 7373 . . . 4 |- ( ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
14 simplll 533 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> A e. N. )
15 simprll 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> F e. N. )
16 simplrr 536 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
17 mulcompig 7348 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
1817adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
19 mulasspig 7349 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
2019adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
21 simprrr 540 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
22 mulclpi 7345 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
2322adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 6076 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) )
25 simpllr 534 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
26 simprlr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
27 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> C e. N. )
28 simprrl 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> R e. N. )
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 6076 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
3024, 29eqeq12d 2204 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
3113, 30bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
321, 31imbitrrid 156 1 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   N.cnpi 7289   .N cmi 7291   ~Q ceq 7296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq 7364
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7390
  Copyright terms: Public domain W3C validator