ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq Unicode version
Theorem mulcmpblnq 7571
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6019 . 2 |- ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
2 mulclpi 7531 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ F e. N. ) -> ( A .N F ) e. N. )
3 mulclpi 7531 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
42, 3anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ F e. N. ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
54an4s 590 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) )
6 mulclpi 7531 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ R e. N. ) -> ( C .N R ) e. N. )
7 mulclpi 7531 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
86, 7anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ R e. N. ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
98an4s 590 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) )
105, 9anim12i 338 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( F e. N. /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. N. /\ D e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
1110an4s 590 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) )
12 enqbreq 7559 . . . 4 |- ( ( ( ( A .N F ) e. N. /\ ( B .N G ) e. N. ) /\ ( ( C .N R ) e. N. /\ ( D .N S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) ) )
14 simplll 533 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> A e. N. )
15 simprll 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> F e. N. )
16 simplrr 536 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
17 mulcompig 7534 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
1817adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
19 mulasspig 7535 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
2019adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
21 simprrr 540 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
22 mulclpi 7531 . . . . . 6 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
2322adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 6199 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) )
25 simpllr 534 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
26 simprlr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
27 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> C e. N. )
28 simprrl 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> R e. N. )
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 6199 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) )
3024, 29eqeq12d 2244 . . 3 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N F ) .N ( D .N S ) ) = ( ( B .N G ) .N ( C .N R ) ) <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
3113, 30bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. <-> ( ( A .N D ) .N ( F .N S ) ) = ( ( B .N C ) .N ( G .N R ) ) ) )
321, 31imbitrrid 156 1 |- ( ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. N. /\ G e. N. ) /\ ( R e. N. /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .N D ) = ( B .N C ) /\ ( F .N S ) = ( G .N R ) ) -> <. ( A .N F ) , ( B .N G ) >. ~Q <. ( C .N R ) , ( D .N S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   N.cnpi 7475   .N cmi 7477   ~Q ceq 7482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-ni 7507  df-mi 7509  df-enq 7550
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  7576
  Copyright terms: Public domain W3C validator