Theorem bitsp1 12483

Description: The M + 1-th bit of N is the M-th bit of |_ ( N / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9288	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
3	2	nncnd 9140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
4		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
5	3, 4	expp1d 10913	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
6	2, 4	nnexpcld 10934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
7	6	nncnd 9140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
8	7, 3	mulcomd 8184	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) )
9	5, 8	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) )
10	9	oveq2d 6026	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
12	11	zcnd 9586	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
13	2	nnap0d 9172	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
14	6	nnap0d 9172	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
15	12, 3, 7, 13, 14	divdivap1d 8985	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) = ( N / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) )
16	10, 15	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) )
17	16	fveq2d 5636	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
18		znq 9836	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( N / 2 ) e. QQ )
19	2, 18	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / 2 ) e. QQ )
20		flqdiv 10560	. . . . . 6 |- ( ( ( N / 2 ) e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
21	19, 6, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
22	17, 21	eqtr4d 2265	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
23	22	breq2d 4095	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
24	23	notbid 671	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
25		peano2nn0 9425	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
26		bitsval2 12476	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) )
27	25, 26	sylan2 286	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) )
28	19	flqcld 10514	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
29		bitsval2 12476	. . 3 |- ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
30	28, 29	sylancom 420	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
31	24, 27, 30	3bitr4d 220	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   / cdiv 8835   NNcn 9126   2c2 9177   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   QQcq 9831   |_cfl 10505   ^cexp 10777   || cdvds 12319  bitscbits 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-bits 12473

This theorem is referenced by:  bitsp1e  12484  bitsp1o  12485