Theorem bitsp1 12306

Description: The M + 1-th bit of N is the M-th bit of |_ ( N / 2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9205	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
2	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
3	2	nncnd 9057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
4		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
5	3, 4	expp1d 10826	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
6	2, 4	nnexpcld 10847	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
7	6	nncnd 9057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
8	7, 3	mulcomd 8101	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) )
9	5, 8	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) )
10	9	oveq2d 5967	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
12	11	zcnd 9503	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
13	2	nnap0d 9089	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
14	6	nnap0d 9089	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
15	12, 3, 7, 13, 14	divdivap1d 8902	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) = ( N / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) )
16	10, 15	eqtr4d 2242	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) )
17	16	fveq2d 5587	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
18		znq 9752	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( N / 2 ) e. QQ )
19	2, 18	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N / 2 ) e. QQ )
20		flqdiv 10473	. . . . . 6 |- ( ( ( N / 2 ) e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
21	19, 6, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( |_ ` ( ( N / 2 ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
22	17, 21	eqtr4d 2242	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
23	22	breq2d 4059	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
24	23	notbid 669	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
25		peano2nn0 9342	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
26		bitsval2 12299	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) )
27	25, 26	sylan2 286	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) )
28	19	flqcld 10427	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
29		bitsval2 12299	. . 3 |- ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
30	28, 29	sylancom 420	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
31	24, 27, 30	3bitr4d 220	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) e. (bits ` N ) <-> M e. (bits ` ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4047   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   1c1 7933   + caddc 7935   x. cmul 7937   / cdiv 8752   NNcn 9043   2c2 9094   NN0cn0 9302   ZZcz 9379   QQcq 9747   |_cfl 10418   ^cexp 10690   || cdvds 12142  bitscbits 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-bits 12296

This theorem is referenced by:  bitsp1e  12307  bitsp1o  12308