Theorem bitsinv1lem 12672

Description: Lemma for bitsinv1 12673. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . 3 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
2	1	eqeq2d 2246	. 2 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
3		oveq2 6066	. . 3 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
4	3	eqeq2d 2246	. 2 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6		2nn 9416	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	nnexpcld 11082	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
10	5, 9	zmodcld 10731	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9572	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
13		1nn0 9529	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
15	8, 14	nn0addcld 9574	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
16	7, 15	nnexpcld 11082	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. NN )
17	5, 16	zmodcld 10731	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9572	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
20	12, 19	pncan3d 8603	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
21	18, 11	subcld 8600	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> M e. NN0 )
25	23, 24	nnexpcld 11082	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
26	25	nncnd 9268	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
27		2cnd 9327	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
28	7	nnap0d 9300	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
29	8	nn0zd 9716	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
30	27, 28, 29	expap0d 11066	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
32		z0even 12622	. . . . . . . . . 10 |- 2 || 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
34	32, 33	breqtrrid 4152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
35		bitsval2 12655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
36		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. QQ )
38		2z 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
39		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. QQ
41		qexpcl 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. QQ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
42	40, 8, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
43	9	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ M ) )
44		modqdiffl 10721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
46	45	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
48		modqdifz 10722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
50	5	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
51	50, 11, 18	nnncan1d 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
52	51	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
53	50, 11	subcld 8600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
54	50, 18	subcld 8600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
55	9	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
57	52, 56	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
58	27, 54	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
59	27, 55	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
60	27, 8	expp1d 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
61	59, 60	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
63		2ap0 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 9108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
66	16	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
67	29	peano2zd 9721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
68	27, 28, 67	expap0d 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) # 0 )
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
71		qexpcl 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. QQ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
72	40, 15, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
73	16	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
74		modqdifz 10722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
76	75, 47	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
77	70, 76	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
78	49, 77	zsubcld 9723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
79	57, 78	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
80		dvdsmul2 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
81	75, 47, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
82	50, 18, 11	nnncan2d 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
83	82	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
86	81, 85	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
87		dvdssub2 12546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) /\ 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
90	89	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
93	92	con2d 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) -> -. M e. (bits ` N ) ) )
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. M e. (bits ` N ) ) )
95	94	con2d 629	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
96		df-neg 8463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
97	55	mulm1d 8700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) = -u ( 2 ^ M ) )
98	9	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
99	98	renegcld 8670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) e. RR )
100	37, 42, 43	modqcld 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
101		qre 9975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
103	102	renegcld 8670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
104	37, 72, 73	modqcld 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ )
105		qre 9975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
107	106, 102	resubcld 8671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. RR )
108		modqlt 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
110	102, 98	ltnegd 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) <-> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
112		df-neg 8463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) = ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
113		0red 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. RR )
114		modqge0 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
117	112, 116	eqbrtrid 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
119	97, 118	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
120		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. RR )
121	120	renegcld 8670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 e. RR )
122	9	nnrpd 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR+ )
123	121, 107, 122	ltmuldivd 10095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <-> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
125	96, 124	eqbrtrrid 4150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
126		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
127		zlem1lt 9651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
128	126, 79, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
130		elnn0z 9607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
131	79, 129, 130	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
132		nn0uz 9907	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	16	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
135		modqge0 10718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
137	106, 102	subge02d 8828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
139		modqlt 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
142	141, 60	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
143	7	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. RR )
144	107, 143, 122	ltdivmuld 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 )
146		elfzo2 10506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 2 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 ) )
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) )
148		fzo0to2pr 10585	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
149	147, 148	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } )
150		elpri 3717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
152	151	ord 732	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 )
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 9089	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = ( 2 ^ M ) )
156	155	oveq2d 6074	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
157	20, 156	eqtr3d 2269	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
158	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
160	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
161	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
162	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
163	17	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
164	10	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
165	163, 164	zsubcld 9723	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
166		znq 9974	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
167	165, 9, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
168		0z 9605	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
169		zq 9976	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. QQ )
171		qdceq 10628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
172	167, 170, 171	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
173		n2dvds1 12623	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
174		breq2 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || 1 ) )
175	173, 174	mtbiri 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) )
178		con1dc 864	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) ) )
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
180	179	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 9088	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = 0 )
182	158, 159, 181	subeq0d 8608	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
183	159	addridd 8438	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) )
185		bitsdc 12658	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3660	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   ifcif 3624   {cpr 3695   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969  ..^cfzo 10498   |_cfl 10652   mod cmo 10708   ^cexp 10924   || cdvds 12498  bitscbits 12651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-dvds 12499  df-bits 12652

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12673