Theorem bitsinv1lem 12583

Description: Lemma for bitsinv1 12584. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . 3 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
2	1	eqeq2d 2243	. 2 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
3		oveq2 6036	. . 3 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
4	3	eqeq2d 2243	. 2 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6		2nn 9348	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	nnexpcld 11001	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
10	5, 9	zmodcld 10651	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9500	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
13		1nn0 9461	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
15	8, 14	nn0addcld 9502	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
16	7, 15	nnexpcld 11001	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. NN )
17	5, 16	zmodcld 10651	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9500	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
20	12, 19	pncan3d 8536	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
21	18, 11	subcld 8533	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> M e. NN0 )
25	23, 24	nnexpcld 11001	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
26	25	nncnd 9200	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
27		2cnd 9259	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
28	7	nnap0d 9232	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
29	8	nn0zd 9643	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
30	27, 28, 29	expap0d 10985	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
32		z0even 12533	. . . . . . . . . 10 |- 2 || 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
34	32, 33	breqtrrid 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
35		bitsval2 12566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
36		zq 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. QQ )
38		2z 9550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
39		zq 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. QQ
41		qexpcl 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. QQ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
42	40, 8, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
43	9	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ M ) )
44		modqdiffl 10641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
46	45	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
48		modqdifz 10642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
50	5	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
51	50, 11, 18	nnncan1d 8567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
52	51	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
53	50, 11	subcld 8533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
54	50, 18	subcld 8533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
55	9	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
57	52, 56	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
58	27, 54	mulcomd 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
59	27, 55	mulcomd 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
60	27, 8	expp1d 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
61	59, 60	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
63		2ap0 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
66	16	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
67	29	peano2zd 9648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
68	27, 28, 67	expap0d 10985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) # 0 )
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
71		qexpcl 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. QQ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
72	40, 15, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
73	16	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
74		modqdifz 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
76	75, 47	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
77	70, 76	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
78	49, 77	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
79	57, 78	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
80		dvdsmul2 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
81	75, 47, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
82	50, 18, 11	nnncan2d 8568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
83	82	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
86	81, 85	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
87		dvdssub2 12457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) /\ 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
90	89	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
93	92	con2d 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) -> -. M e. (bits ` N ) ) )
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. M e. (bits ` N ) ) )
95	94	con2d 629	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
96		df-neg 8396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
97	55	mulm1d 8632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) = -u ( 2 ^ M ) )
98	9	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
99	98	renegcld 8602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) e. RR )
100	37, 42, 43	modqcld 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
101		qre 9902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
103	102	renegcld 8602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
104	37, 72, 73	modqcld 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ )
105		qre 9902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
107	106, 102	resubcld 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. RR )
108		modqlt 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
110	102, 98	ltnegd 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) <-> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
112		df-neg 8396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) = ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
113		0red 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. RR )
114		modqge0 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
117	112, 116	eqbrtrid 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
119	97, 118	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
120		1red 8237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. RR )
121	120	renegcld 8602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 e. RR )
122	9	nnrpd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR+ )
123	121, 107, 122	ltmuldivd 10022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <-> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
125	96, 124	eqbrtrrid 4129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
126		0zd 9534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
127		zlem1lt 9579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
128	126, 79, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
130		elnn0z 9535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
131	79, 129, 130	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
132		nn0uz 9834	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	16	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
135		modqge0 10638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
137	106, 102	subge02d 8760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
139		modqlt 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
142	141, 60	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
143	7	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. RR )
144	107, 143, 122	ltdivmuld 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 )
146		elfzo2 10428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 2 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 ) )
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) )
148		fzo0to2pr 10507	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
149	147, 148	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } )
150		elpri 3696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
152	151	ord 732	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 )
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 9021	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = ( 2 ^ M ) )
156	155	oveq2d 6044	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
157	20, 156	eqtr3d 2266	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
158	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
160	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
161	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
162	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
163	17	nn0zd 9643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
164	10	nn0zd 9643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
165	163, 164	zsubcld 9650	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
166		znq 9901	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
167	165, 9, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
168		0z 9533	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
169		zq 9903	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. QQ )
171		qdceq 10548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
172	167, 170, 171	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
173		n2dvds1 12534	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
174		breq2 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || 1 ) )
175	173, 174	mtbiri 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) )
178		con1dc 864	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) ) )
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
180	179	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 9020	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = 0 )
182	158, 159, 181	subeq0d 8541	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
183	159	addridd 8371	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) )
185		bitsdc 12569	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3643	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   ifcif 3607   {cpr 3674   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8257   <_ cle 8258   - cmin 8393   -ucneg 8394   # cap 8804   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   QQcq 9896  ..^cfzo 10420   |_cfl 10572   mod cmo 10628   ^cexp 10844   || cdvds 12409  bitscbits 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-dvds 12410  df-bits 12563

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12584