Theorem bitsinv1lem 12643

Description: Lemma for bitsinv1 12644. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6057	. . 3 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
2	1	eqeq2d 2244	. 2 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
3		oveq2 6057	. . 3 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
4	3	eqeq2d 2244	. 2 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6		2nn 9398	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	nnexpcld 11056	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
10	5, 9	zmodcld 10706	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9554	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
13		1nn0 9511	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
15	8, 14	nn0addcld 9556	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
16	7, 15	nnexpcld 11056	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. NN )
17	5, 16	zmodcld 10706	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9554	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
20	12, 19	pncan3d 8586	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
21	18, 11	subcld 8583	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> M e. NN0 )
25	23, 24	nnexpcld 11056	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
26	25	nncnd 9250	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
27		2cnd 9309	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
28	7	nnap0d 9282	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
29	8	nn0zd 9697	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
30	27, 28, 29	expap0d 11040	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
32		z0even 12593	. . . . . . . . . 10 |- 2 || 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
34	32, 33	breqtrrid 4146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
35		bitsval2 12626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
36		zq 9957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. QQ )
38		2z 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
39		zq 9957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. QQ
41		qexpcl 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. QQ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
42	40, 8, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
43	9	nngt0d 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ M ) )
44		modqdiffl 10696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
46	45	breq2d 4120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
48		modqdifz 10697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
50	5	zcnd 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
51	50, 11, 18	nnncan1d 8617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
52	51	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
53	50, 11	subcld 8583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
54	50, 18	subcld 8583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
55	9	nncnd 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
57	52, 56	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
58	27, 54	mulcomd 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
59	27, 55	mulcomd 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
60	27, 8	expp1d 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
61	59, 60	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
63		2ap0 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
66	16	nncnd 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
67	29	peano2zd 9702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
68	27, 28, 67	expap0d 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) # 0 )
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
71		qexpcl 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. QQ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
72	40, 15, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
73	16	nngt0d 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
74		modqdifz 10697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
76	75, 47	zmulcld 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
77	70, 76	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
78	49, 77	zsubcld 9704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
79	57, 78	eqeltrd 2309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
80		dvdsmul2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
81	75, 47, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
82	50, 18, 11	nnncan2d 8618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
83	82	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
86	81, 85	breqtrrd 4136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
87		dvdssub2 12517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) /\ 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
90	89	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
93	92	con2d 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) -> -. M e. (bits ` N ) ) )
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. M e. (bits ` N ) ) )
95	94	con2d 629	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
96		df-neg 8446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
97	55	mulm1d 8682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) = -u ( 2 ^ M ) )
98	9	nnred 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
99	98	renegcld 8652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) e. RR )
100	37, 42, 43	modqcld 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
101		qre 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
103	102	renegcld 8652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
104	37, 72, 73	modqcld 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ )
105		qre 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
107	106, 102	resubcld 8653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. RR )
108		modqlt 10694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
110	102, 98	ltnegd 8796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) <-> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
112		df-neg 8446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) = ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
113		0red 8274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. RR )
114		modqge0 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
117	112, 116	eqbrtrid 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
119	97, 118	eqbrtrd 4130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
120		1red 8288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. RR )
121	120	renegcld 8652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 e. RR )
122	9	nnrpd 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR+ )
123	121, 107, 122	ltmuldivd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <-> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
125	96, 124	eqbrtrrid 4144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
126		0zd 9588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
127		zlem1lt 9633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
128	126, 79, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
130		elnn0z 9589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
131	79, 129, 130	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
132		nn0uz 9888	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	16	nnred 9249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
135		modqge0 10693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
137	106, 102	subge02d 8810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
139		modqlt 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
142	141, 60	breqtrd 4134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
143	7	nnred 9249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. RR )
144	107, 143, 122	ltdivmuld 10080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 )
146		elfzo2 10483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 2 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 ) )
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) )
148		fzo0to2pr 10562	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
149	147, 148	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } )
150		elpri 3711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
152	151	ord 732	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 )
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 9071	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = ( 2 ^ M ) )
156	155	oveq2d 6065	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
157	20, 156	eqtr3d 2267	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
158	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
160	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
161	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
162	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
163	17	nn0zd 9697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
164	10	nn0zd 9697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
165	163, 164	zsubcld 9704	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
166		znq 9955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
167	165, 9, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
168		0z 9587	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
169		zq 9957	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. QQ )
171		qdceq 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
172	167, 170, 171	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
173		n2dvds1 12594	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
174		breq2 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || 1 ) )
175	173, 174	mtbiri 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) )
178		con1dc 864	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) ) )
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
180	179	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 9070	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = 0 )
182	158, 159, 181	subeq0d 8591	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
183	159	addridd 8421	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2268	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) )
185		bitsdc 12629	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3655	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   ifcif 3619   {cpr 3689   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   -ucneg 8444   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   QQcq 9950  ..^cfzo 10475   |_cfl 10627   mod cmo 10683   ^cexp 10899   || cdvds 12469  bitscbits 12622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-dvds 12470  df-bits 12623

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12644