Theorem bitsinv1lem 12754

Description: Lemma for bitsinv1 12755. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6096	. . 3 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
2	1	eqeq2d 2250	. 2 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
3		oveq2 6096	. . 3 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
4	3	eqeq2d 2250	. 2 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6		2nn 9478	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	nnexpcld 11155	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
10	5, 9	zmodcld 10804	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9634	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
13		1nn0 9591	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
15	8, 14	nn0addcld 9636	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
16	7, 15	nnexpcld 11155	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. NN )
17	5, 16	zmodcld 10804	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9634	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
20	12, 19	pncan3d 8648	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
21	18, 11	subcld 8645	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
24		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> M e. NN0 )
25	23, 24	nnexpcld 11155	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
26	25	nncnd 9328	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
27		2cnd 9387	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
28	7	nnap0d 9360	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
29	8	nn0zd 9778	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
30	27, 28, 29	expap0d 11139	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
32		z0even 12704	. . . . . . . . . 10 |- 2 || 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
34	32, 33	breqtrrid 4169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
35		bitsval2 12737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
36		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. QQ )
38		2z 9684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
39		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. QQ
41		qexpcl 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. QQ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
42	40, 8, 41	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
43	9	nngt0d 9358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ M ) )
44		modqdiffl 10794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
46	45	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
48		modqdifz 10795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
50	5	zcnd 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
51	50, 11, 18	nnncan1d 8679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
52	51	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
53	50, 11	subcld 8645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
54	50, 18	subcld 8645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
55	9	nncnd 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
57	52, 56	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
58	27, 54	mulcomd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
59	27, 55	mulcomd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
60	27, 8	expp1d 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
61	59, 60	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
63		2ap0 9407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
66	16	nncnd 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
67	29	peano2zd 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
68	27, 28, 67	expap0d 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) # 0 )
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
71		qexpcl 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. QQ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
72	40, 15, 71	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
73	16	nngt0d 9358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
74		modqdifz 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
76	75, 47	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
77	70, 76	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
78	49, 77	zsubcld 9785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
79	57, 78	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
80		dvdsmul2 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
81	75, 47, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
82	50, 18, 11	nnncan2d 8680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
83	82	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
86	81, 85	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
87		dvdssub2 12628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) /\ 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
90	89	notbid 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
93	92	con2d 633	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) -> -. M e. (bits ` N ) ) )
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. M e. (bits ` N ) ) )
95	94	con2d 633	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
96		df-neg 8508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
97	55	mulm1d 8745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) = -u ( 2 ^ M ) )
98	9	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
99	98	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) e. RR )
100	37, 42, 43	modqcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
101		qre 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
103	102	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
104	37, 72, 73	modqcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ )
105		qre 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
107	106, 102	resubcld 8716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. RR )
108		modqlt 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
110	102, 98	ltnegd 8859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) <-> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
112		df-neg 8508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) = ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
113		0red 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. RR )
114		modqge0 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
117	112, 116	eqbrtrid 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
119	97, 118	eqbrtrd 4153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
120		1red 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. RR )
121	120	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 e. RR )
122	9	nnrpd 10113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR+ )
123	121, 107, 122	ltmuldivd 10163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <-> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
125	96, 124	eqbrtrrid 4167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
126		0zd 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
127		zlem1lt 9713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
128	126, 79, 127	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
130		elnn0z 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
131	79, 129, 130	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
132		nn0uz 9974	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	16	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
135		modqge0 10791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
137	106, 102	subge02d 8873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
139		modqlt 10792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
142	141, 60	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
143	7	nnred 9327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. RR )
144	107, 143, 122	ltdivmuld 10167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 )
146		elfzo2 10575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 2 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 ) )
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) )
148		fzo0to2pr 10654	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
149	147, 148	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } )
150		elpri 3732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
152	151	ord 736	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 )
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 9137	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = ( 2 ^ M ) )
156	155	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
157	20, 156	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
158	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
160	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
161	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
162	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
163	17	nn0zd 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
164	10	nn0zd 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
165	163, 164	zsubcld 9785	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
166		znq 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
167	165, 9, 166	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
168		0z 9667	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
169		zq 10043	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. QQ )
171		qdceq 10697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
172	167, 170, 171	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
173		n2dvds1 12705	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
174		breq2 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || 1 ) )
175	173, 174	mtbiri 686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) )
178		con1dc 868	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) ) )
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
180	179	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 9136	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = 0 )
182	158, 159, 181	subeq0d 8653	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
183	159	addridd 8483	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) )
185		bitsdc 12740	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3674	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   ifcif 3638   {cpr 3710   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   -ucneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011   NNcn 9314   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   QQcq 10036  ..^cfzo 10567   |_cfl 10721   mod cmo 10781   ^cexp 10997   || cdvds 12580  bitscbits 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-dvds 12581  df-bits 12734

This theorem is used by:  bitsinv1  12755