Theorem bitsinv1lem 12527

Description: Lemma for bitsinv1 12528. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	|- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6026	. . 3 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
2	1	eqeq2d 2243	. 2 |- ( ( 2 ^ M ) = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
3		oveq2 6026	. . 3 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )
4	3	eqeq2d 2243	. 2 |- ( 0 = if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) <-> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) ) )
5		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6		2nn 9305	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. NN )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. NN0 )
9	7, 8	nnexpcld 10958	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
10	5, 9	zmodcld 10608	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9457	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
13		1nn0 9418	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
15	8, 14	nn0addcld 9459	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN0 )
16	7, 15	nnexpcld 10958	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. NN )
17	5, 16	zmodcld 10608	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. NN0 )
18	17	nn0cnd 9457	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
20	12, 19	pncan3d 8493	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
21	18, 11	subcld 8490	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> 2 e. NN )
24		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> M e. NN0 )
25	23, 24	nnexpcld 10958	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. NN )
26	25	nncnd 9157	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
27		2cnd 9216	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. CC )
28	7	nnap0d 9189	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
29	8	nn0zd 9600	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
30	27, 28, 29	expap0d 10942	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
32		z0even 12477	. . . . . . . . . 10 |- 2 || 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
34	32, 33	breqtrrid 4126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
35		bitsval2 12510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
36		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. QQ )
38		2z 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
39		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. QQ
41		qexpcl 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. QQ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
42	40, 8, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. QQ )
43	9	nngt0d 9187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ M ) )
44		modqdiffl 10598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) )
46	45	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) ) )
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
48		modqdifz 10599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
50	5	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> N e. CC )
51	50, 11, 18	nnncan1d 8524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
52	51	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
53	50, 11	subcld 8490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
54	50, 18	subcld 8490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
55	9	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
57	52, 56	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
58	27, 54	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
59	27, 55	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
60	27, 8	expp1d 10937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) = ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
61	59, 60	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) = ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
62	58, 61	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
63		2ap0 9236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 # 0 )
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 8997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) ) / ( 2 x. ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
66	16	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
67	29	peano2zd 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
68	27, 28, 67	expap0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) # 0 )
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
71		qexpcl 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. QQ /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
72	40, 15, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ )
73	16	nngt0d 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
74		modqdifz 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
76	75, 47	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) e. ZZ )
77	70, 76	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
78	49, 77	zsubcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
79	57, 78	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
80		dvdsmul2 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
81	75, 47, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
82	50, 18, 11	nnncan2d 8525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
83	82	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) - ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) = ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) x. 2 ) )
86	81, 85	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
87		dvdssub2 12401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) /\ 2 || ( ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) - ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( N - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
90	89	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ M ) ) ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
93	92	con2d 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) -> -. M e. (bits ` N ) ) )
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. M e. (bits ` N ) ) )
95	94	con2d 629	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
96		df-neg 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
97	55	mulm1d 8589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) = -u ( 2 ^ M ) )
98	9	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
99	98	renegcld 8559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) e. RR )
100	37, 42, 43	modqcld 10591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
101		qre 9859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
103	102	renegcld 8559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. RR )
104	37, 72, 73	modqcld 10591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ )
105		qre 9859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. QQ -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
107	106, 102	resubcld 8560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. RR )
108		modqlt 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) )
110	102, 98	ltnegd 8703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) < ( 2 ^ M ) <-> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
112		df-neg 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) = ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
113		0red 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. RR )
114		modqge0 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
117	112, 116	eqbrtrid 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( N mod ( 2 ^ M ) ) <_ ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u ( 2 ^ M ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
119	97, 118	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) )
120		1red 8194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 1 e. RR )
121	120	renegcld 8559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 e. RR )
122	9	nnrpd 9929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ M ) e. RR+ )
123	121, 107, 122	ltmuldivd 9979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 ^ M ) ) < ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <-> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> -u 1 < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
125	96, 124	eqbrtrrid 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
126		0zd 9491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
127		zlem1lt 9536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
128	126, 79, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
130		elnn0z 9492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
131	79, 129, 130	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. NN0 )
132		nn0uz 9791	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
133	131, 132	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	16	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
135		modqge0 10595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ M ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ M ) ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
137	106, 102	subge02d 8717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N mod ( 2 ^ M ) ) <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) <_ ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
139		modqlt 10596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. QQ /\ ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. QQ /\ 0 < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
142	141, 60	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) )
143	7	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 2 e. RR )
144	107, 143, 122	ltdivmuld 9983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 <-> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) < ( ( 2 ^ M ) x. 2 ) ) )
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 )
146		elfzo2 10385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) <-> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 2 e. ZZ /\ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) < 2 ) )
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. ( 0..^ 2 ) )
148		fzo0to2pr 10464	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
149	147, 148	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } )
150		elpri 3692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. { 0 , 1 } -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 \/ ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
152	151	ord 731	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 ) )
154	153	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 )
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 8978	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = ( 2 ^ M ) )
156	155	oveq2d 6034	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
157	20, 156	eqtr3d 2266	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + ( 2 ^ M ) ) )
158	18	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
159	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. CC )
160	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. CC )
161	55	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) e. CC )
162	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( 2 ^ M ) # 0 )
163	17	nn0zd 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) e. ZZ )
164	10	nn0zd 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ M ) ) e. ZZ )
165	163, 164	zsubcld 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ )
166		znq 9858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. NN ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
167	165, 9, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ )
168		0z 9490	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
169		zq 9860	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> 0 e. QQ )
171		qdceq 10505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) e. QQ /\ 0 e. QQ ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
172	167, 170, 171	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
173		n2dvds1 12478	. . . . . . . . . 10 |- -. 2 || 1
174		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> ( 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) <-> 2 || 1 ) )
175	173, 174	mtbiri 681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 1 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) )
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> -. 2 || ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) ) )
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) )
178		con1dc 863	. . . . . . 7 |- (DECID ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> ( ( -. ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 -> M e. (bits ` N ) ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) ) )
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( -. M e. (bits ` N ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 ) )
180	179	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) / ( 2 ^ M ) ) = 0 )
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 8977	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) - ( N mod ( 2 ^ M ) ) ) = 0 )
182	158, 159, 181	subeq0d 8498	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
183	159	addridd 8328	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) = ( N mod ( 2 ^ M ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) /\ -. M e. (bits ` N ) ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + 0 ) )
185		bitsdc 12513	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> DECID M e. (bits ` N ) )
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3639	1 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. NN0 ) -> ( N mod ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( N mod ( 2 ^ M ) ) + if ( M e. (bits ` N ) , ( 2 ^ M ) , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605   {cpr 3670   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350   -ucneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   QQcq 9853  ..^cfzo 10377   |_cfl 10529   mod cmo 10585   ^cexp 10801   || cdvds 12353  bitscbits 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-dvds 12354  df-bits 12507

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12528