bitsmod - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bitsmod 12522

Description: Truncating the bit sequence after some

is equivalent to reducing the argument

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	$/\$ bits bits ..^

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 $/\$
2		2nn 9305	. . . . . . . . . 10
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	nnexpcld 10958	. . . . . . . 8 $/\$
6	1, 5	zmodcld 10608	. . . . . . 7 $/\$
7	6	nn0zd 9600	. . . . . 6 $/\$
8	7	biantrurd 305	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
11		bitsval2 12510	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits bits $/\$
15		2z 9507	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
17	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
18	17, 10	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
19		znq 9858	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
20	9, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	flqcld 10538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
22	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
23		znq 9858	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	flqcld 10538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
26	18	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
27	26, 16	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
30	9, 22	zsubcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
31		2cnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 10	expp1d 10937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
33		1nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	10, 34	nn0addcld 9459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
37		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40		nn0ltp1le 9542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
41	10, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
42	13, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
43		eluz2 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
45		dvdsexp 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	32, 46	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
48		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	9, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
50		nnq 9867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	28, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
52	28	nngt0d 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
53		modqdifz 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55	28	nnne0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
56		dvdsval2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
57	29, 55, 30, 56	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	27, 29, 30, 47, 58	dvdstrd 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	30	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
61	18	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	18	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ #
63	60, 61, 62	divcanap2d 8972	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
64	59, 63	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
65	10	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
66	10	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
67	38	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67, 13	ltled 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
69		eluz2 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	65, 39, 68, 69	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsexp 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
73	26, 29, 30, 72, 58	dvdstrd 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
74	18	nnne0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75		dvdsval2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
76	26, 74, 30, 75	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
78		dvdscmulr 12386	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
79	16, 77, 26, 74, 78	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
80	64, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	25	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
82	77	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	22	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
84	9	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	pncan3d 8493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
87	83, 60, 61, 62	divdirapd 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
90		flqaddz 10558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
91	24, 77, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	81, 82, 92	mvrladdd 8546	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	80, 93	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95		dvdssub2 12401	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96	16, 21, 25, 94, 95	syl31anc 1276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	notbid 673	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	12, 14, 97	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
99		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	intnand 938	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
101		z0even 12477	. . . . . . . . . . . 12
102	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
104	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106		2rp 9893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
108	37	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	rpexpcld 10960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	rpgt0d 9934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
112	103, 105, 111	modqcld 10591	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
113		qre 9859	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
117	107, 116	rpexpcld 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	nn0ge0d 9458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	114, 117, 119	divge0d 9972	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	110	rpred 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	rpred 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
123		modqlt 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
124	103, 105, 111, 123	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
125	107	rpred 9931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126		1le2 9352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
128	109	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	115	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129, 99	nltled 8300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
131		eluz2 9761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
132	109, 116, 130, 131	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
133	125, 127, 132	leexp2ad 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 121, 122, 124, 133	ltletrd 8603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	117	rpcnd 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	mulridd 8196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138		1red 8194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
139	114, 138, 117	ltdivmuld 9983	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
140	137, 139	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
141		1e0p1 9652	. . . . . . . . . . . . . 14
142	140, 141	breqtrdi 4129	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
144	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 115	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	143, 145, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
147		0z 9490	. . . . . . . . . . . . . 14
148		flqbi 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	146, 147, 148	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	120, 142, 149	mpbir2and 952	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
151	101, 150	breqtrrid 4126	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	notnotd 635	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
153	100, 152	2falsed 709	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
154		nn0z 9499	. . . . . . . . . . 11
155		zdclt 9557	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
156	154, 108, 155	syl2an2 598	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID
157		exmiddc 843	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
159	98, 153, 158	mpjaodan 805	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$
160	108	biantrurd 305	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$ bits $/\$
161	159, 160	bitr3d 190	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
162		an12 563	. . . . . . 7 $/\$ bits $/\$ bits $/\$ $/\$
163	161, 162	bitrdi 196	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
164	163	pm5.32da 452	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
165	8, 164	bitr3d 190	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
166		3anass 1008	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167		elfzo2 10385	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$
168		elnn0uz 9794	. . . . . . . 8
169	168	3anbi1i 1216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		3anass 1008	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	167, 169, 170	3bitr2i 208	. . . . . 6 ..^ $/\$ $/\$
172	171	anbi2i 457	. . . . 5 bits $/\$ ..^ bits $/\$ $/\$ $/\$
173		an12 563	. . . . 5 bits $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
174	172, 173	bitri 184	. . . 4 bits $/\$ ..^ $/\$ bits $/\$ $/\$
175	165, 166, 174	3bitr4g 223	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ ..^
176		bitsval 12509	. . 3 bits $/\$ $/\$
177		elin 3390	. . 3 bits ..^ bits $/\$ ..^
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. 2 $/\$ bits bits ..^
179	178	eqrdv 2229	1 $/\$ bits bits ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

cin 3199 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cle 8215

cmin 8350

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cn0 9402

cz 9479

cuz 9755

cq 9853

crp 9888 ..^cfzo 10377

cfl 10529

cmo 10585

cexp 10801

cdvds 12353 bitscbits 12506

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-dvds 12354 df-bits 12507

This theorem is referenced by: (None)

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