bitsmod - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bitsmod 12453

Description: Truncating the bit sequence after some

is equivalent to reducing the argument

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	$/\$ bits bits ..^

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 $/\$
2		2nn 9260	. . . . . . . . . 10
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	nnexpcld 10904	. . . . . . . 8 $/\$
6	1, 5	zmodcld 10554	. . . . . . 7 $/\$
7	6	nn0zd 9555	. . . . . 6 $/\$
8	7	biantrurd 305	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
11		bitsval2 12441	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits bits $/\$
15		2z 9462	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
17	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
18	17, 10	nnexpcld 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
19		znq 9807	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
20	9, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	flqcld 10484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
22	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
23		znq 9807	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	flqcld 10484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
26	18	nnzd 9556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
27	26, 16	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nnzd 9556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
30	9, 22	zsubcld 9562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
31		2cnd 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 10	expp1d 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
33		1nn0 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	10, 34	nn0addcld 9414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
37		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40		nn0ltp1le 9497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
41	10, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
42	13, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
43		eluz2 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
45		dvdsexp 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	32, 46	eqbrtrrd 4106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
48		zq 9809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	9, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
50		nnq 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	28, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
52	28	nngt0d 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
53		modqdifz 10545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55	28	nnne0d 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
56		dvdsval2 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
57	29, 55, 30, 56	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	27, 29, 30, 47, 58	dvdstrd 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	30	zcnd 9558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
61	18	nncnd 9112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	18	nnap0d 9144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ #
63	60, 61, 62	divcanap2d 8927	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
64	59, 63	breqtrrd 4110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
65	10	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
66	10	nn0red 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
67	38	nn0red 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67, 13	ltled 8253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
69		eluz2 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	65, 39, 68, 69	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsexp 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
73	26, 29, 30, 72, 58	dvdstrd 12327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
74	18	nnne0d 9143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75		dvdsval2 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
76	26, 74, 30, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
78		dvdscmulr 12317	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
79	16, 77, 26, 74, 78	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
80	64, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	25	zcnd 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
82	77	zcnd 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	22	zcnd 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
84	9	zcnd 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	pncan3d 8448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	oveq1d 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
87	83, 60, 61, 62	divdirapd 8964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	fveq2d 5627	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
90		flqaddz 10504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
91	24, 77, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	81, 82, 92	mvrladdd 8501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	80, 93	breqtrrd 4110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95		dvdssub2 12332	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96	16, 21, 25, 94, 95	syl31anc 1274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	notbid 671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	12, 14, 97	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
99		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	intnand 936	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
101		z0even 12408	. . . . . . . . . . . 12
102	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
104	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106		2rp 9842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
108	37	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	rpexpcld 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	rpgt0d 9883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
112	103, 105, 111	modqcld 10537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
113		qre 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
117	107, 116	rpexpcld 10906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	nn0ge0d 9413	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	114, 117, 119	divge0d 9921	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	110	rpred 9880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	rpred 9880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
123		modqlt 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
124	103, 105, 111, 123	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
125	107	rpred 9880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126		1le2 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
128	109	zred 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	115	nn0red 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129, 99	nltled 8255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
131		eluz2 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
132	109, 116, 130, 131	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
133	125, 127, 132	leexp2ad 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 121, 122, 124, 133	ltletrd 8558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	117	rpcnd 9882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	mulridd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	breqtrrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138		1red 8149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
139	114, 138, 117	ltdivmuld 9932	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
140	137, 139	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
141		1e0p1 9607	. . . . . . . . . . . . . 14
142	140, 141	breqtrdi 4123	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
144	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 115	nnexpcld 10904	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	143, 145, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
147		0z 9445	. . . . . . . . . . . . . 14
148		flqbi 10497	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	146, 147, 148	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	120, 142, 149	mpbir2and 950	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
151	101, 150	breqtrrid 4120	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	notnotd 633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
153	100, 152	2falsed 707	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
154		nn0z 9454	. . . . . . . . . . 11
155		zdclt 9512	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
156	154, 108, 155	syl2an2 596	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID
157		exmiddc 841	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
159	98, 153, 158	mpjaodan 803	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$
160	108	biantrurd 305	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$ bits $/\$
161	159, 160	bitr3d 190	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
162		an12 561	. . . . . . 7 $/\$ bits $/\$ bits $/\$ $/\$
163	161, 162	bitrdi 196	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
164	163	pm5.32da 452	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
165	8, 164	bitr3d 190	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
166		3anass 1006	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167		elfzo2 10334	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$
168		elnn0uz 9748	. . . . . . . 8
169	168	3anbi1i 1214	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		3anass 1006	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	167, 169, 170	3bitr2i 208	. . . . . 6 ..^ $/\$ $/\$
172	171	anbi2i 457	. . . . 5 bits $/\$ ..^ bits $/\$ $/\$ $/\$
173		an12 561	. . . . 5 bits $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
174	172, 173	bitri 184	. . . 4 bits $/\$ ..^ $/\$ bits $/\$ $/\$
175	165, 166, 174	3bitr4g 223	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ ..^
176		bitsval 12440	. . 3 bits $/\$ $/\$
177		elin 3387	. . 3 bits ..^ bits $/\$ ..^
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. 2 $/\$ bits bits ..^
179	178	eqrdv 2227	1 $/\$ bits bits ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

cin 3196 class class class wbr 4082

cfv 5314 (class class class)co 5994

cr 7986

cc0 7987

c1 7988

caddc 7990

cmul 7992

clt 8169

cle 8170

cmin 8305

cdiv 8807

cn 9098

c2 9149

cn0 9357

cz 9434

cuz 9710

cq 9802

crp 9837 ..^cfzo 10326

cfl 10475

cmo 10531

cexp 10747

cdvds 12284 bitscbits 12437

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4521 ax-setind 4626 ax-iinf 4677 ax-cnex 8078 ax-resscn 8079 ax-1cn 8080 ax-1re 8081 ax-icn 8082 ax-addcl 8083 ax-addrcl 8084 ax-mulcl 8085 ax-mulrcl 8086 ax-addcom 8087 ax-mulcom 8088 ax-addass 8089 ax-mulass 8090 ax-distr 8091 ax-i2m1 8092 ax-0lt1 8093 ax-1rid 8094 ax-0id 8095 ax-rnegex 8096 ax-precex 8097 ax-cnre 8098 ax-pre-ltirr 8099 ax-pre-ltwlin 8100 ax-pre-lttrn 8101 ax-pre-apti 8102 ax-pre-ltadd 8103 ax-pre-mulgt0 8104 ax-pre-mulext 8105 ax-arch 8106

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4381 df-po 4384 df-iso 4385 df-iord 4454 df-on 4456 df-ilim 4457 df-suc 4459 df-iom 4680 df-xp 4722 df-rel 4723 df-cnv 4724 df-co 4725 df-dm 4726 df-rn 4727 df-res 4728 df-ima 4729 df-iota 5274 df-fun 5316 df-fn 5317 df-f 5318 df-f1 5319 df-fo 5320 df-f1o 5321 df-fv 5322 df-riota 5947 df-ov 5997 df-oprab 5998 df-mpo 5999 df-1st 6276 df-2nd 6277 df-recs 6441 df-frec 6527 df-pnf 8171 df-mnf 8172 df-xr 8173 df-ltxr 8174 df-le 8175 df-sub 8307 df-neg 8308 df-reap 8710 df-ap 8717 df-div 8808 df-inn 9099 df-2 9157 df-n0 9358 df-z 9435 df-uz 9711 df-q 9803 df-rp 9838 df-fz 10193 df-fzo 10327 df-fl 10477 df-mod 10532 df-seqfrec 10657 df-exp 10748 df-dvds 12285 df-bits 12438

This theorem is referenced by: (None)

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