bitsmod - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bitsmod 12578

Description: Truncating the bit sequence after some

is equivalent to reducing the argument

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	$/\$ bits bits ..^

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 $/\$
2		2nn 9348	. . . . . . . . . 10
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	nnexpcld 11001	. . . . . . . 8 $/\$
6	1, 5	zmodcld 10651	. . . . . . 7 $/\$
7	6	nn0zd 9643	. . . . . 6 $/\$
8	7	biantrurd 305	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
11		bitsval2 12566	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits bits $/\$
15		2z 9550	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
17	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
18	17, 10	nnexpcld 11001	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
19		znq 9901	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
20	9, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	flqcld 10581	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
22	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
23		znq 9901	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	flqcld 10581	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
26	18	nnzd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
27	26, 16	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nnzd 9644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
30	9, 22	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
31		2cnd 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 10	expp1d 10980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
33		1nn0 9461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	10, 34	nn0addcld 9502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
37		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40		nn0ltp1le 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
41	10, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
42	13, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
43		eluz2 9804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
45		dvdsexp 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	32, 46	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
48		zq 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	9, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
50		nnq 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	28, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
52	28	nngt0d 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
53		modqdifz 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55	28	nnne0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
56		dvdsval2 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
57	29, 55, 30, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	27, 29, 30, 47, 58	dvdstrd 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	30	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
61	18	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	18	nnap0d 9232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ #
63	60, 61, 62	divcanap2d 9015	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
64	59, 63	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
65	10	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
66	10	nn0red 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
67	38	nn0red 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67, 13	ltled 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
69		eluz2 9804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	65, 39, 68, 69	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsexp 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
73	26, 29, 30, 72, 58	dvdstrd 12452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
74	18	nnne0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75		dvdsval2 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
76	26, 74, 30, 75	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
78		dvdscmulr 12442	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
79	16, 77, 26, 74, 78	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
80	64, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	25	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
82	77	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	22	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
84	9	zcnd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	pncan3d 8536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
87	83, 60, 61, 62	divdirapd 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
90		flqaddz 10601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
91	24, 77, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	81, 82, 92	mvrladdd 8589	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	80, 93	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95		dvdssub2 12457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96	16, 21, 25, 94, 95	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	notbid 673	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	12, 14, 97	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
99		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	intnand 939	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
101		z0even 12533	. . . . . . . . . . . 12
102	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
104	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106		2rp 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
108	37	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	rpexpcld 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	rpgt0d 9977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
112	103, 105, 111	modqcld 10634	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
113		qre 9902	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
117	107, 116	rpexpcld 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	nn0ge0d 9501	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	114, 117, 119	divge0d 10015	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	110	rpred 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	rpred 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
123		modqlt 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
124	103, 105, 111, 123	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
125	107	rpred 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126		1le2 9395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
128	109	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	115	nn0red 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129, 99	nltled 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
131		eluz2 9804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
132	109, 116, 130, 131	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
133	125, 127, 132	leexp2ad 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 121, 122, 124, 133	ltletrd 8646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	117	rpcnd 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	mulridd 8239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138		1red 8237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
139	114, 138, 117	ltdivmuld 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
140	137, 139	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
141		1e0p1 9695	. . . . . . . . . . . . . 14
142	140, 141	breqtrdi 4134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
144	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 115	nnexpcld 11001	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	143, 145, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
147		0z 9533	. . . . . . . . . . . . . 14
148		flqbi 10594	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	146, 147, 148	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	120, 142, 149	mpbir2and 953	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
151	101, 150	breqtrrid 4131	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	notnotd 635	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
153	100, 152	2falsed 710	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
154		nn0z 9542	. . . . . . . . . . 11
155		zdclt 9600	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
156	154, 108, 155	syl2an2 598	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID
157		exmiddc 844	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
159	98, 153, 158	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$
160	108	biantrurd 305	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$ bits $/\$
161	159, 160	bitr3d 190	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
162		an12 563	. . . . . . 7 $/\$ bits $/\$ bits $/\$ $/\$
163	161, 162	bitrdi 196	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
164	163	pm5.32da 452	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
165	8, 164	bitr3d 190	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
166		3anass 1009	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167		elfzo2 10428	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$
168		elnn0uz 9837	. . . . . . . 8
169	168	3anbi1i 1217	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		3anass 1009	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	167, 169, 170	3bitr2i 208	. . . . . 6 ..^ $/\$ $/\$
172	171	anbi2i 457	. . . . 5 bits $/\$ ..^ bits $/\$ $/\$ $/\$
173		an12 563	. . . . 5 bits $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
174	172, 173	bitri 184	. . . 4 bits $/\$ ..^ $/\$ bits $/\$ $/\$
175	165, 166, 174	3bitr4g 223	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ ..^
176		bitsval 12565	. . 3 bits $/\$ $/\$
177		elin 3392	. . 3 bits ..^ bits $/\$ ..^
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. 2 $/\$ bits bits ..^
179	178	eqrdv 2229	1 $/\$ bits bits ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

cin 3200 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8257

cle 8258

cmin 8393

cdiv 8895

cn 9186

c2 9237

cn0 9445

cz 9522

cuz 9798

cq 9896

crp 9931 ..^cfzo 10420

cfl 10572

cmo 10628

cexp 10844

cdvds 12409 bitscbits 12562

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8259 df-mnf 8260 df-xr 8261 df-ltxr 8262 df-le 8263 df-sub 8395 df-neg 8396 df-reap 8798 df-ap 8805 df-div 8896 df-inn 9187 df-2 9245 df-n0 9446 df-z 9523 df-uz 9799 df-q 9897 df-rp 9932 df-fz 10287 df-fzo 10421 df-fl 10574 df-mod 10629 df-seqfrec 10754 df-exp 10845 df-dvds 12410 df-bits 12563

This theorem is referenced by: (None)

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