bitsmod - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem bitsmod 12510

Description: Truncating the bit sequence after some

is equivalent to reducing the argument

. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bitsmod	$/\$ bits bits ..^

Proof of Theorem bitsmod Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 $/\$
2		2nn 9298	. . . . . . . . . 10
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	nnexpcld 10950	. . . . . . . 8 $/\$
6	1, 5	zmodcld 10600	. . . . . . 7 $/\$
7	6	nn0zd 9593	. . . . . 6 $/\$
8	7	biantrurd 305	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
11		bitsval2 12498	. . . . . . . . . . 11 $/\$ bits
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
14	13	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits bits $/\$
15		2z 9500	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
17	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
18	17, 10	nnexpcld 10950	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
19		znq 9851	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
20	9, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	flqcld 10530	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
22	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
23		znq 9851	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	flqcld 10530	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
26	18	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
27	26, 16	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
30	9, 22	zsubcld 9600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
31		2cnd 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
32	31, 10	expp1d 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
33		1nn0 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
35	10, 34	nn0addcld 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
37		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
40		nn0ltp1le 9535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
41	10, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
42	13, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
43		eluz2 9754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
45		dvdsexp 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
47	32, 46	eqbrtrrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
48		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	9, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
50		nnq 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	28, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
52	28	nngt0d 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
53		modqdifz 10591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55	28	nnne0d 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
56		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
57	29, 55, 30, 56	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	27, 29, 30, 47, 58	dvdstrd 12384	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	30	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
61	18	nncnd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
62	18	nnap0d 9182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ #
63	60, 61, 62	divcanap2d 8965	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
64	59, 63	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
65	10	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
66	10	nn0red 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
67	38	nn0red 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67, 13	ltled 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
69		eluz2 9754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
70	65, 39, 68, 69	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsexp 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
73	26, 29, 30, 72, 58	dvdstrd 12384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
74	18	nnne0d 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
75		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
76	26, 74, 30, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
77	73, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
78		dvdscmulr 12374	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
79	16, 77, 26, 74, 78	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
80	64, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
81	25	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
82	77	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83	22	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
84	9	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
85	83, 84	pncan3d 8486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
87	83, 60, 61, 62	divdirapd 9002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
90		flqaddz 10550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
91	24, 77, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92	89, 91	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	81, 82, 92	mvrladdd 8539	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	80, 93	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95		dvdssub2 12389	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96	16, 21, 25, 94, 95	syl31anc 1274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
97	96	notbid 671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	12, 14, 97	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
99		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	intnand 936	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
101		z0even 12465	. . . . . . . . . . . 12
102	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
104	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106		2rp 9886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
108	37	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
110	107, 109	rpexpcld 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	rpgt0d 9927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
112	103, 105, 111	modqcld 10583	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
113		qre 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
117	107, 116	rpexpcld 10952	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
118	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	nn0ge0d 9451	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	114, 117, 119	divge0d 9965	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
121	110	rpred 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	117	rpred 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
123		modqlt 10588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
124	103, 105, 111, 123	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
125	107	rpred 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126		1le2 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
128	109	zred 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
129	115	nn0red 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129, 99	nltled 8293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
131		eluz2 9754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
132	109, 116, 130, 131	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
133	125, 127, 132	leexp2ad 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 121, 122, 124, 133	ltletrd 8596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
135	117	rpcnd 9926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	mulridd 8189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
138		1red 8187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
139	114, 138, 117	ltdivmuld 9976	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
140	137, 139	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
141		1e0p1 9645	. . . . . . . . . . . . . 14
142	140, 141	breqtrdi 4127	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
144	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
145	144, 115	nnexpcld 10950	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
146	143, 145, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
147		0z 9483	. . . . . . . . . . . . . 14
148		flqbi 10543	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	146, 147, 148	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	120, 142, 149	mpbir2and 950	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
151	101, 150	breqtrrid 4124	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	notnotd 633	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
153	100, 152	2falsed 707	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
154		nn0z 9492	. . . . . . . . . . 11
155		zdclt 9550	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
156	154, 108, 155	syl2an2 596	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID
157		exmiddc 841	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
159	98, 153, 158	mpjaodan 803	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$
160	108	biantrurd 305	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$ bits $/\$
161	159, 160	bitr3d 190	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$
162		an12 561	. . . . . . 7 $/\$ bits $/\$ bits $/\$ $/\$
163	161, 162	bitrdi 196	. . . . . 6 $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
164	163	pm5.32da 452	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
165	8, 164	bitr3d 190	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
166		3anass 1006	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167		elfzo2 10378	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$
168		elnn0uz 9787	. . . . . . . 8
169	168	3anbi1i 1214	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		3anass 1006	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	167, 169, 170	3bitr2i 208	. . . . . 6 ..^ $/\$ $/\$
172	171	anbi2i 457	. . . . 5 bits $/\$ ..^ bits $/\$ $/\$ $/\$
173		an12 561	. . . . 5 bits $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ $/\$
174	172, 173	bitri 184	. . . 4 bits $/\$ ..^ $/\$ bits $/\$ $/\$
175	165, 166, 174	3bitr4g 223	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ bits $/\$ ..^
176		bitsval 12497	. . 3 bits $/\$ $/\$
177		elin 3388	. . 3 bits ..^ bits $/\$ ..^
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. 2 $/\$ bits bits ..^
179	178	eqrdv 2227	1 $/\$ bits bits ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

cin 3197 class class class wbr 4086

cfv 5324 (class class class)co 6013

cr 8024

cc0 8025

c1 8026

caddc 8028

cmul 8030

clt 8207

cle 8208

cmin 8343

cdiv 8845

cn 9136

c2 9187

cn0 9395

cz 9472

cuz 9748

cq 9846

crp 9881 ..^cfzo 10370

cfl 10521

cmo 10577

cexp 10793

cdvds 12341 bitscbits 12494

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-fz 10237 df-fzo 10371 df-fl 10523 df-mod 10578 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-dvds 12342 df-bits 12495

This theorem is referenced by: (None)

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