Theorem bitscmp 12708

Description: The bit complement of N is -u N - 1. (Thus, by bitsfi 12707, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	|- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12694	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2		2z 9655	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		2nn 9449	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 11116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
9		znq 10007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
11	10	flqcld 10695	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
12		dvdsnegb 12558	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
13	3, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
15	11	znegcld 9753	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
16		oddm1even 12625	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
18		flqltp1 10697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
20	4	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. RR )
21	20, 8	nndivred 9337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
22	11	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
23		1red 8335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 8349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) e. RR )
25	21, 24	ltnegd 8845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) )
27	22	recnd 8348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
28	23	recnd 8348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
29	27, 28	negdi2d 8645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
30	20	recnd 8348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. CC )
31	8	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
32	8	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) # 0 )
33	30, 31, 32	divnegapd 9127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
34	26, 29, 33	3brtr3d 4159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
35		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
36	15, 35	zsubcld 9756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. RR )
38	20	renegcld 8701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. RR )
39	8	nnrpd 10078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
40	37, 38, 39	ltmuldivd 10128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) ) )
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N )
42	8	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
43	36, 42	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ )
44	4	znegcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
45		zltlem1 9685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) )
48	38, 23	resubcld 8702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. RR )
49	37, 48, 39	lemuldivd 10130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) )
51		flqle 10696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
53	22, 21	lenegd 8846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) <-> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
55	33, 54	eqbrtrrd 4152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
56	22	renegcld 8701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
57	38, 56, 39	ledivmuld 10134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
59	42, 15	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ )
60		zlem1lt 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
63	48, 56, 39	ltdivmuld 10132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
65	27	negcld 8618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
66	65, 28	npcand 8635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
67	64, 66	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
68	44, 35	zsubcld 9756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
69		znq 10007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
70	68, 8, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
71		flqbi 10708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ /\ ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
72	70, 36, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
73	50, 67, 72	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
74	73	breq2d 4140	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
77	76	notbid 677	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
78	77	pm5.32da 456	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
79		znegcl 9658	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
80		1zzd 9654	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 e. ZZ )
81	79, 80	zsubcld 9756	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
82	81	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
84		eldif 3229	. . 3 |- ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) )
85		bitsval 12693	. . . 4 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
86		3anass 1013	. . . 4 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 184	. . 3 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) ) )
89	88	eqrdv 2236	1 |- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491   -ucneg 8492   / cdiv 8996   NNcn 9287   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   QQcq 10002   |_cfl 10686   ^cexp 10958   || cdvds 12537  bitscbits 12690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-dvds 12538  df-bits 12691

This theorem is referenced by:  m1bits  12710