Theorem bitscmp 12477

Description: The bit complement of N is -u N - 1. (Thus, by bitsfi 12476, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	|- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12463	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2		2z 9482	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		2nn 9280	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 10925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
9		znq 9827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
11	10	flqcld 10505	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
12		dvdsnegb 12327	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
14	13	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
15	11	znegcld 9579	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
16		oddm1even 12394	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
18		flqltp1 10507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
20	4	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. RR )
21	20, 8	nndivred 9168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
22	11	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
23		1red 8169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 8184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) e. RR )
25	21, 24	ltnegd 8678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) )
27	22	recnd 8183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
28	23	recnd 8183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
29	27, 28	negdi2d 8479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
30	20	recnd 8183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. CC )
31	8	nncnd 9132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
32	8	nnap0d 9164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) # 0 )
33	30, 31, 32	divnegapd 8958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
34	26, 29, 33	3brtr3d 4114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
35		1zzd 9481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
36	15, 35	zsubcld 9582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	zred 9577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. RR )
38	20	renegcld 8534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. RR )
39	8	nnrpd 9898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
40	37, 38, 39	ltmuldivd 9948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) ) )
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N )
42	8	nnzd 9576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
43	36, 42	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ )
44	4	znegcld 9579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
45		zltlem1 9512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) )
48	38, 23	resubcld 8535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. RR )
49	37, 48, 39	lemuldivd 9950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) )
51		flqle 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
53	22, 21	lenegd 8679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) <-> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
55	33, 54	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
56	22	renegcld 8534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
57	38, 56, 39	ledivmuld 9954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
59	42, 15	zmulcld 9583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ )
60		zlem1lt 9511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
63	48, 56, 39	ltdivmuld 9952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
65	27	negcld 8452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
66	65, 28	npcand 8469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
67	64, 66	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
68	44, 35	zsubcld 9582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
69		znq 9827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
70	68, 8, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
71		flqbi 10518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ /\ ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
72	70, 36, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
73	50, 67, 72	mpbir2and 950	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
74	73	breq2d 4095	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
77	76	notbid 671	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
78	77	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
79		znegcl 9485	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
80		1zzd 9481	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 e. ZZ )
81	79, 80	zsubcld 9582	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
82	81	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
84		eldif 3206	. . 3 |- ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) )
85		bitsval 12462	. . . 4 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
86		3anass 1006	. . . 4 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 184	. . 3 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) ) )
89	88	eqrdv 2227	1 |- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   < clt 8189   <_ cle 8190   - cmin 8325   -ucneg 8326   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   QQcq 9822   |_cfl 10496   ^cexp 10768   || cdvds 12306  bitscbits 12459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-dvds 12307  df-bits 12460

This theorem is referenced by:  m1bits  12479