Theorem bitscmp 12751

Description: The bit complement of N is -u N - 1. (Thus, by bitsfi 12750, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	|- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12737	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2		2z 9684	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		2nn 9478	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 11155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
9		znq 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
11	10	flqcld 10732	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
12		dvdsnegb 12601	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
13	3, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
15	11	znegcld 9782	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
16		oddm1even 12668	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
18		flqltp1 10734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
20	4	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. RR )
21	20, 8	nndivred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
22	11	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
23		1red 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 8362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) e. RR )
25	21, 24	ltnegd 8859	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) )
27	22	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
28	23	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
29	27, 28	negdi2d 8659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
30	20	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. CC )
31	8	nncnd 9328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
32	8	nnap0d 9360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) # 0 )
33	30, 31, 32	divnegapd 9142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
34	26, 29, 33	3brtr3d 4162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
35		1zzd 9683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
36	15, 35	zsubcld 9785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. RR )
38	20	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. RR )
39	8	nnrpd 10113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
40	37, 38, 39	ltmuldivd 10163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) ) )
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N )
42	8	nnzd 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
43	36, 42	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ )
44	4	znegcld 9782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
45		zltlem1 9714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) )
48	38, 23	resubcld 8716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. RR )
49	37, 48, 39	lemuldivd 10165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) )
51		flqle 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
53	22, 21	lenegd 8860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) <-> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
55	33, 54	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
56	22	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
57	38, 56, 39	ledivmuld 10169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
59	42, 15	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ )
60		zlem1lt 9713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
63	48, 56, 39	ltdivmuld 10167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
65	27	negcld 8632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
66	65, 28	npcand 8649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
67	64, 66	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
68	44, 35	zsubcld 9785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
69		znq 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
70	68, 8, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
71		flqbi 10747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ /\ ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
72	70, 36, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
73	50, 67, 72	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
74	73	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
77	76	notbid 677	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
78	77	pm5.32da 456	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
79		znegcl 9687	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
80		1zzd 9683	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 e. ZZ )
81	79, 80	zsubcld 9785	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
82	81	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
84		eldif 3229	. . 3 |- ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) )
85		bitsval 12736	. . . 4 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
86		3anass 1013	. . . 4 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 184	. . 3 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) ) )
89	88	eqrdv 2236	1 |- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   -ucneg 8506   / cdiv 9011   NNcn 9314   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   QQcq 10036   |_cfl 10721   ^cexp 10997   || cdvds 12580  bitscbits 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-dvds 12581  df-bits 12734

This theorem is used by:  m1bits  12753