Theorem bitscmp 12339

Description: The bit complement of N is -u N - 1. (Thus, by bitsfi 12338, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	|- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12325	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2		2z 9415	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		2nn 9213	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 10857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
9		znq 9760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
11	10	flqcld 10437	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
12		dvdsnegb 12189	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
14	13	notbid 669	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
15	11	znegcld 9512	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
16		oddm1even 12256	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
18		flqltp1 10439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
20	4	zred 9510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. RR )
21	20, 8	nndivred 9101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
22	11	zred 9510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
23		1red 8102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 8117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) e. RR )
25	21, 24	ltnegd 8611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) )
27	22	recnd 8116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
28	23	recnd 8116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
29	27, 28	negdi2d 8412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
30	20	recnd 8116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. CC )
31	8	nncnd 9065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
32	8	nnap0d 9097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) # 0 )
33	30, 31, 32	divnegapd 8891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
34	26, 29, 33	3brtr3d 4081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
35		1zzd 9414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
36	15, 35	zsubcld 9515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	zred 9510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. RR )
38	20	renegcld 8467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. RR )
39	8	nnrpd 9831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
40	37, 38, 39	ltmuldivd 9881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) ) )
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N )
42	8	nnzd 9509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
43	36, 42	zmulcld 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ )
44	4	znegcld 9512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
45		zltlem1 9445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) )
48	38, 23	resubcld 8468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. RR )
49	37, 48, 39	lemuldivd 9883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) )
51		flqle 10438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
53	22, 21	lenegd 8612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) <-> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
55	33, 54	eqbrtrrd 4074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
56	22	renegcld 8467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
57	38, 56, 39	ledivmuld 9887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
59	42, 15	zmulcld 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ )
60		zlem1lt 9444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
63	48, 56, 39	ltdivmuld 9885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
65	27	negcld 8385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
66	65, 28	npcand 8402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
67	64, 66	breqtrrd 4078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
68	44, 35	zsubcld 9515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
69		znq 9760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
70	68, 8, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
71		flqbi 10450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ /\ ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
72	70, 36, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
73	50, 67, 72	mpbir2and 947	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
74	73	breq2d 4062	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
77	76	notbid 669	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
78	77	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
79		znegcl 9418	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
80		1zzd 9414	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 e. ZZ )
81	79, 80	zsubcld 9515	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
82	81	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
84		eldif 3179	. . 3 |- ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) )
85		bitsval 12324	. . . 4 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
86		3anass 985	. . . 4 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 184	. . 3 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) ) )
89	88	eqrdv 2204	1 |- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   \ cdif 3167   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   1c1 7941   + caddc 7943   x. cmul 7945   < clt 8122   <_ cle 8123   - cmin 8258   -ucneg 8259   / cdiv 8760   NNcn 9051   2c2 9102   NN0cn0 9310   ZZcz 9387   QQcq 9755   |_cfl 10428   ^cexp 10700   || cdvds 12168  bitscbits 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fl 10430  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-dvds 12169  df-bits 12322

This theorem is referenced by:  m1bits  12341