Theorem bitscmp 12455

Description: The bit complement of N is -u N - 1. (Thus, by bitsfi 12454, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	|- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12441	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
2		2z 9462	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. ZZ )
5		2nn 9260	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 2 e. NN )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
8	6, 7	nnexpcld 10904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
9		znq 9807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
11	10	flqcld 10484	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
12		dvdsnegb 12305	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
14	13	notbid 671	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
15	11	znegcld 9559	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ )
16		oddm1even 12372	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. ZZ -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
18		flqltp1 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) )
20	4	zred 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. RR )
21	20, 8	nndivred 9148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N / ( 2 ^ m ) ) e. RR )
22	11	zred 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
23		1red 8149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. RR )
24	22, 23	readdcld 8164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) e. RR )
25	21, 24	ltnegd 8658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( N / ( 2 ^ m ) ) < ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) < -u ( N / ( 2 ^ m ) ) )
27	22	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
28	23	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
29	27, 28	negdi2d 8459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
30	20	recnd 8163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> N e. CC )
31	8	nncnd 9112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. CC )
32	8	nnap0d 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) # 0 )
33	30, 31, 32	divnegapd 8938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) = ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
34	26, 29, 33	3brtr3d 4113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) )
35		1zzd 9461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
36	15, 35	zsubcld 9562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ )
37	36	zred 9557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. RR )
38	20	renegcld 8514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. RR )
39	8	nnrpd 9878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. RR+ )
40	37, 38, 39	ltmuldivd 9928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) < ( -u N / ( 2 ^ m ) ) ) )
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N )
42	8	nnzd 9556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
43	36, 42	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ )
44	4	znegcld 9559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N e. ZZ )
45		zltlem1 9492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) e. ZZ /\ -u N e. ZZ ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) < -u N <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) ) )
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) )
48	38, 23	resubcld 8515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. RR )
49	37, 48, 39	lemuldivd 9930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) x. ( 2 ^ m ) ) <_ ( -u N - 1 ) <-> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) )
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) )
51		flqle 10485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N / ( 2 ^ m ) ) e. QQ -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) )
53	22, 21	lenegd 8659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <_ ( N / ( 2 ^ m ) ) <-> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
55	33, 54	eqbrtrrd 4106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
56	22	renegcld 8514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. RR )
57	38, 56, 39	ledivmuld 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N / ( 2 ^ m ) ) <_ -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
59	42, 15	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ )
60		zlem1lt 9491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u N e. ZZ /\ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N <_ ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
63	48, 56, 39	ltdivmuld 9932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> ( -u N - 1 ) < ( ( 2 ^ m ) x. -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
65	27	negcld 8432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) e. CC )
66	65, 28	npcand 8449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) )
67	64, 66	breqtrrd 4110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
68	44, 35	zsubcld 9562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
69		znq 9807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 ^ m ) e. NN ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
70	68, 8, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ )
71		flqbi 10497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) e. QQ /\ ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
72	70, 36, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <-> ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) <_ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) /\ ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) < ( ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
73	50, 67, 72	mpbir2and 950	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) )
74	73	breq2d 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) - 1 ) ) )
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. 2 || -u ( |_ ` ( N / ( 2 ^ m ) ) ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( m e. (bits ` N ) <-> 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
77	76	notbid 671	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( -. m e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
78	77	pm5.32da 452	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
79		znegcl 9465	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
80		1zzd 9461	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 e. ZZ )
81	79, 80	zsubcld 9562	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -u N - 1 ) e. ZZ )
82	81	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) ) )
84		eldif 3206	. . 3 |- ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> ( m e. NN0 /\ -. m e. (bits ` N ) ) )
85		bitsval 12440	. . . 4 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) )
86		3anass 1006	. . . 4 |- ( ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 184	. . 3 |- ( m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) <-> ( ( -u N - 1 ) e. ZZ /\ ( m e. NN0 /\ -. 2 || ( |_ ` ( ( -u N - 1 ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( m e. ( NN0 \ (bits ` N ) ) <-> m e. (bits ` ( -u N - 1 ) ) ) )
89	88	eqrdv 2227	1 |- ( N e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` N ) ) = (bits ` ( -u N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   < clt 8169   <_ cle 8170   - cmin 8305   -ucneg 8306   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   QQcq 9802   |_cfl 10475   ^cexp 10747   || cdvds 12284  bitscbits 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fl 10477  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-dvds 12285  df-bits 12438

This theorem is referenced by:  m1bits  12457