Theorem bitsfzolem 12118

Description: Lemma for bitsfzo 12119. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	|- ( ph -> N e. NN0 )
bitsfzo.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
bitsfzo.3	|- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4	|- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	|- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Distinct variable groups:   n, M   n, N   ph, n

Allowed substitution hint:   S( n)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variables u m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0uz 9636	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2289	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		2nn 9152	. . . . 5 |- 2 e. NN
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
6		bitsfzo.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
7	5, 6	nnexpcld 10787	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. NN )
8	7	nnzd 9447	. 2 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. ZZ )
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
11		n2dvds1 12077	. . . . . . . . 9 |- -. 2 || 1
12	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. NN )
13		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ NN0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )
15		nnssnn0 9252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN C_ NN0
16	1	nn0red 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. RR )
17		2re 9060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 2 e. RR )
19		1lt2 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 2
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 1 < 2 )
21		expnbnd 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
23		ssrexv 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) ) )
24	15, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
25		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = u -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ u ) )
26	25	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = u -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ u ) ) )
27	26	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) <-> E. u e. NN0 N < ( 2 ^ u ) )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. u e. NN0 N < ( 2 ^ u ) )
29		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> 0 e. ZZ )
30	2	rabeqi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ n ) }
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) )
32	26	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) )
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> u e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
34	1	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. ZZ )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> N e. ZZ )
36		2z 9354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. ZZ
37		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( 0 ... u ) -> n e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> n e. NN0 )
39		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. ZZ )
40	36, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> ( 2 ^ n ) e. ZZ )
41		zdclt 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ n ) e. ZZ ) -> DECID N < ( 2 ^ n ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> DECID N < ( 2 ^ n ) )
43	29, 30, 33, 42	infssuzcldc 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
44	28, 43	rexlimddv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
45	14, 44	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
46	13, 45	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. NN0 )
47	46	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. ZZ )
49		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 e. RR )
50	6	nn0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. ZZ )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. ZZ )
52	51	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. RR )
53	48	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. RR )
54	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. NN0 )
55	54	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 <_ M )
56	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR )
57	56, 54	reexpcld 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
58	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. RR )
59	5, 46	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 2 ^ S ) e. NN )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. NN )
61	60	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) <_ N )
63	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
64		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = S -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ S ) )
65	64	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = S -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ S ) ) )
66		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
67	66	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ m ) ) )
68	67	cbvrabv 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { m e. NN0 | N < ( 2 ^ m ) }
69	65, 68	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( S e. NN0 /\ N < ( 2 ^ S ) ) )
70	69	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> N < ( 2 ^ S ) )
71	63, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( 2 ^ S ) )
72	57, 58, 61, 62, 71	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) )
73		nn0ltexp2 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 e. RR /\ M e. NN0 /\ S e. NN0 ) /\ 1 < 2 ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
74	18, 6, 46, 20, 73	syl31anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M < S )
77	49, 52, 53, 55, 76	lelttrd 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 < S )
78		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S e. NN <-> ( S e. ZZ /\ 0 < S ) )
79	48, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. NN )
80		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> ( S - 1 ) e. NN0 )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. NN0 )
82	12, 81	nnexpcld 10787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
83	82	nncnd 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. CC )
84	83	mullidd 8044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
85	82	nnred 9003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR )
86	53	ltm1d 8959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < S )
87		peano2zm 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. ZZ -> ( S - 1 ) e. ZZ )
88	47, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S - 1 ) e. ZZ )
89		zltnle 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S - 1 ) e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
90	88, 47, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
92	86, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ ( S - 1 ) )
93		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
94	93	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
95	94, 68	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
96		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
97	26	cbvrabv 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ n ) } = { u e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ u ) }
98	30, 97	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { u e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ u ) }
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
100	99, 95	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
101	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
102		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> u e. NN0 )
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> u e. NN0 )
104		zexpcl 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ u e. NN0 ) -> ( 2 ^ u ) e. ZZ )
105	36, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ u ) e. ZZ )
106		zdclt 9403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ u ) e. ZZ ) -> DECID N < ( 2 ^ u ) )
107	101, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> DECID N < ( 2 ^ u ) )
108	96, 98, 100, 107	infssuzledc 10324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
109	95, 108	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
110	14, 109	eqbrtrid 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> S <_ ( S - 1 ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) ) )
112	95, 111	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
113	81, 112	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
114	92, 113	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
115	85, 58, 114	nltled 8147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N )
116	84, 115	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N )
117		1red 8041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. RR )
118		2rp 9733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
119	118	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR+ )
120		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. ZZ )
121	48, 120	zsubcld 9453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
122	119, 121	rpexpcld 10789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR+ )
123	117, 58, 122	lemuldivd 9821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N <-> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
124	116, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
125		2cn 9061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
126		expm1t 10659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. NN ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
127	125, 79, 126	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
128	71, 127	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
129	58, 56, 122	ltdivmuld 9823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 <-> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) ) )
130	128, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 )
131		df-2 9049	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
132	130, 131	breqtrdi 4074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) )
133		nnexpcl 10644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
134	4, 81, 133	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
135		znq 9698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ )
136	34, 134, 135	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ )
137		flqbi 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
138	136, 120, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
139	124, 132, 138	mpbir2and 946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 )
140	139	breq2d 4045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) <-> 2 || 1 ) )
141	11, 140	mtbiri 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
142		bitsval2 12109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
143	34, 81, 142	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
144	141, 143	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. (bits ` N ) )
145	10, 144	sseldd 3184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) )
146		elfzolt2 10232	. . . . . 6 |- ( ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) -> ( S - 1 ) < M )
147	145, 146	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < M )
148		zlem1lt 9382	. . . . . 6 |- ( ( S e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
149	47, 51, 148	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
150	147, 149	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S <_ M )
151		zltnle 9372	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
152	50, 48, 151	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
153	76, 152	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ M )
154	150, 153	pm2.65da 662	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ M ) <_ N )
155		zltnle 9372	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
156	34, 8, 155	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
157	154, 156	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> N < ( 2 ^ M ) )
158		elfzo2 10225	. 2 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ M ) ) )
159	3, 8, 157, 158	syl3anbrc 1183	1 |- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   QQcq 9693   RR+crp 9728   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217   |_cfl 10358   ^cexp 10630   || cdvds 11952  bitscbits 12105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-dvds 11953  df-bits 12106

This theorem is referenced by:  bitsfzo  12119