Theorem bitsfzolem 12576

Description: Lemma for bitsfzo 12577. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	|- ( ph -> N e. NN0 )
bitsfzo.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
bitsfzo.3	|- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4	|- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	|- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Distinct variable groups:   n, M   n, N   ph, n

Allowed substitution hint:   S( n)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variables u m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0uz 9834	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtrdi 2324	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		2nn 9348	. . . . 5 |- 2 e. NN
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
6		bitsfzo.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
7	5, 6	nnexpcld 11001	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. NN )
8	7	nnzd 9644	. 2 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. ZZ )
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
11		n2dvds1 12534	. . . . . . . . 9 |- -. 2 || 1
12	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. NN )
13		ssrab2 3313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ NN0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )
15		nnssnn0 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN C_ NN0
16	1	nn0red 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. RR )
17		2re 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 2 e. RR )
19		1lt2 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 2
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 1 < 2 )
21		expnbnd 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
23		ssrexv 3293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) ) )
24	15, 22, 23	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
25		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = u -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ u ) )
26	25	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = u -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ u ) ) )
27	26	cbvrexv 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) <-> E. u e. NN0 N < ( 2 ^ u ) )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E. u e. NN0 N < ( 2 ^ u ) )
29		0zd 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> 0 e. ZZ )
30	2	rabeqi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ n ) }
31		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) )
32	26	elrab 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) )
33	31, 32	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> u e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
34	1	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. ZZ )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> N e. ZZ )
36		2z 9550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. ZZ
37		elfznn0 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( 0 ... u ) -> n e. NN0 )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> n e. NN0 )
39		zexpcl 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. ZZ )
40	36, 38, 39	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> ( 2 ^ n ) e. ZZ )
41		zdclt 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ n ) e. ZZ ) -> DECID N < ( 2 ^ n ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) /\ n e. ( 0 ... u ) ) -> DECID N < ( 2 ^ n ) )
43	29, 30, 33, 42	infssuzcldc 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( u e. NN0 /\ N < ( 2 ^ u ) ) ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
44	28, 43	rexlimddv 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
45	14, 44	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
46	13, 45	sselid 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. NN0 )
47	46	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. ZZ )
49		0red 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 e. RR )
50	6	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. ZZ )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. ZZ )
52	51	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. RR )
53	48	zred 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. RR )
54	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. NN0 )
55	54	nn0ge0d 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 <_ M )
56	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR )
57	56, 54	reexpcld 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
58	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. RR )
59	5, 46	nnexpcld 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 2 ^ S ) e. NN )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. NN )
61	60	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) <_ N )
63	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
64		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = S -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ S ) )
65	64	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = S -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ S ) ) )
66		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
67	66	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ m ) ) )
68	67	cbvrabv 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { m e. NN0 | N < ( 2 ^ m ) }
69	65, 68	elrab2 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( S e. NN0 /\ N < ( 2 ^ S ) ) )
70	69	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> N < ( 2 ^ S ) )
71	63, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( 2 ^ S ) )
72	57, 58, 61, 62, 71	lelttrd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) )
73		nn0ltexp2 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 2 e. RR /\ M e. NN0 /\ S e. NN0 ) /\ 1 < 2 ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
74	18, 6, 46, 20, 73	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
76	72, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M < S )
77	49, 52, 53, 55, 76	lelttrd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 < S )
78		elnnz 9532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S e. NN <-> ( S e. ZZ /\ 0 < S ) )
79	48, 77, 78	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. NN )
80		nnm1nn0 9486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> ( S - 1 ) e. NN0 )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. NN0 )
82	12, 81	nnexpcld 11001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
83	82	nncnd 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. CC )
84	83	mullidd 8240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
85	82	nnred 9199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR )
86	53	ltm1d 9155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < S )
87		peano2zm 9560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. ZZ -> ( S - 1 ) e. ZZ )
88	47, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S - 1 ) e. ZZ )
89		zltnle 9568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S - 1 ) e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
90	88, 47, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
92	86, 91	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ ( S - 1 ) )
93		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
94	93	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
95	94, 68	elrab2 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
96		0zd 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
97	26	cbvrabv 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ n ) } = { u e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ u ) }
98	30, 97	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { u e. ( ZZ>= ` 0 ) | N < ( 2 ^ u ) }
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
100	99, 95	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
101	34	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
102		elfznn0 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) -> u e. NN0 )
103	102	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> u e. NN0 )
104		zexpcl 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ u e. NN0 ) -> ( 2 ^ u ) e. ZZ )
105	36, 103, 104	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> ( 2 ^ u ) e. ZZ )
106		zdclt 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ u ) e. ZZ ) -> DECID N < ( 2 ^ u ) )
107	101, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) /\ u e. ( 0 ... ( S - 1 ) ) ) -> DECID N < ( 2 ^ u ) )
108	96, 98, 100, 107	infssuzledc 10538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
109	95, 108	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
110	14, 109	eqbrtrid 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> S <_ ( S - 1 ) )
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) ) )
112	95, 111	biimtrrid 153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
113	81, 112	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
114	92, 113	mtod 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
115	85, 58, 114	nltled 8343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N )
116	84, 115	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N )
117		1red 8237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. RR )
118		2rp 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
119	118	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR+ )
120		1zzd 9549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. ZZ )
121	48, 120	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
122	119, 121	rpexpcld 11003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR+ )
123	117, 58, 122	lemuldivd 10024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N <-> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
124	116, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
125		2cn 9257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
126		expm1t 10873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. NN ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
127	125, 79, 126	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
128	71, 127	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
129	58, 56, 122	ltdivmuld 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 <-> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) ) )
130	128, 129	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 )
131		df-2 9245	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
132	130, 131	breqtrdi 4134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) )
133		nnexpcl 10858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
134	4, 81, 133	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
135		znq 9901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ )
136	34, 134, 135	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ )
137		flqbi 10594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
138	136, 120, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
139	124, 132, 138	mpbir2and 953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 )
140	139	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) <-> 2 || 1 ) )
141	11, 140	mtbiri 682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
142		bitsval2 12566	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
143	34, 81, 142	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
144	141, 143	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. (bits ` N ) )
145	10, 144	sseldd 3229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) )
146		elfzolt2 10435	. . . . . 6 |- ( ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) -> ( S - 1 ) < M )
147	145, 146	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < M )
148		zlem1lt 9579	. . . . . 6 |- ( ( S e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
149	47, 51, 148	syl2an2r 599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
150	147, 149	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S <_ M )
151		zltnle 9568	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
152	50, 48, 151	syl2an2r 599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
153	76, 152	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ M )
154	150, 153	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ M ) <_ N )
155		zltnle 9568	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
156	34, 8, 155	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
157	154, 156	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> N < ( 2 ^ M ) )
158		elfzo2 10428	. 2 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ M ) ) )
159	3, 8, 157, 158	syl3anbrc 1208	1 |- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028  infcinf 7225   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8257   <_ cle 8258   - cmin 8393   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   QQcq 9896   RR+crp 9931   ...cfz 10286  ..^cfzo 10420   |_cfl 10572   ^cexp 10844   || cdvds 12409  bitscbits 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-dvds 12410  df-bits 12563

This theorem is referenced by:  bitsfzo  12577