Theorem bitsval2 12694

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12693	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
2		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
3	1, 2	bitri 184	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
4	3	baib 931	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   / cdiv 8996  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ⌊cfl 10686  ↑cexp 10958   ∥ cdvds 12537  bitscbits 12690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-i2m1 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-n0 9547  df-bits 12691

This theorem is referenced by:  bitsdc  12697  bits0  12698  bitsp1  12701  bitsfzolem  12704  bitsfzo  12705  bitsmod  12706  bitscmp  12708  bitsinv1lem  12711