Theorem bitsval2 12421

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12420	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
2		df-3an 985	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
3	1, 2	bitri 184	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
4	3	baib 923	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   / cdiv 8787  2c2 9129  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ⌊cfl 10455  ↑cexp 10727   ∥ cdvds 12264  bitscbits 12417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-i2m1 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-n0 9338  df-bits 12418

This theorem is referenced by:  bitsdc  12424  bits0  12425  bitsp1  12428  bitsfzolem  12431  bitsfzo  12432  bitsmod  12433  bitscmp  12435  bitsinv1lem  12438