Theorem bitsval2 12528

Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsval2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Proof of Theorem bitsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval 12527	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
2		df-3an 1006	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
3	1, 2	bitri 184	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
4	3	baib 926	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   / cdiv 8857  2c2 9199  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ⌊cfl 10534  ↑cexp 10806   ∥ cdvds 12371  bitscbits 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-i2m1 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-n0 9408  df-bits 12525

This theorem is referenced by:  bitsdc  12531  bits0  12532  bitsp1  12535  bitsfzolem  12538  bitsfzo  12539  bitsmod  12540  bitscmp  12542  bitsinv1lem  12545