Theorem blelrn 15007

Description: A ball belongs to the set of balls of a metric space. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blelrn	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )

Proof of Theorem blelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 14997	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2	1	ffnd 5446	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) Fn ( X X. RR* ) )
3		fnovrn 6117	. 2 |- ( ( ( ball ` D ) Fn ( X X. RR* ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )
4	2, 3	syl3an1 1283	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   e. wcel 2178   ~Pcpw 3626   X. cxp 4691   ran crn 4694   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RR*cxr 8141   *Metcxmet 14413   ballcbl 14415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-bl 14423

This theorem is referenced by:  unirnbl  15010  blssex  15017  blopn  15077  metss  15081  metcnp3  15098  ioo2blex  15139