Theorem blelrn 15088

Description: A ball belongs to the set of balls of a metric space. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blelrn	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )

Proof of Theorem blelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 15078	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2	1	ffnd 5473	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) Fn ( X X. RR* ) )
3		fnovrn 6152	. 2 |- ( ( ( ball ` D ) Fn ( X X. RR* ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )
4	2, 3	syl3an1 1304	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ran ( ball ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   ~Pcpw 3649   X. cxp 4716   ran crn 4719   Fn wfn 5312   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RR*cxr 8176   *Metcxmet 14494   ballcbl 14496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-map 6795  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-bl 14504

This theorem is referenced by:  unirnbl  15091  blssex  15098  blopn  15158  metss  15162  metcnp3  15179  ioo2blex  15220