Theorem cbvsumv 12105

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 12104	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-seqfrec 10863  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  isumge0  12175  telfsumo  12211  fsumparts  12215  binomlem  12228  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  efaddlem  12419  plymullem1  15772  plyadd  15775  plymul  15776  plycoeid3  15781  plyco  15783  plycj  15785  dvply1  15789  trilpo  16997  redcwlpo  17010  nconstwlpo  17021  neapmkv  17023