Theorem cbvsumv 11251

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2299	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2299	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2299	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		nfcv 2299	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11250	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335  Σcsu 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-cnv 4593  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-iota 5134  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-recs 6249  df-frec 6335  df-seqfrec 10338  df-sumdc 11244

This theorem is referenced by:  isumge0  11320  telfsumo  11356  fsumparts  11360  binomlem  11373  mertenslemi1  11425  mertenslem2  11426  mertensabs  11427  efaddlem  11564  trilpo  13585  redcwlpo  13597  nconstwlpo  13607  neapmkv  13609