Theorem telfsumo 11407

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11329	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> A = D )
3	2	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzfz1 9966	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
9	3, 5, 8	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 8197	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12	1, 11	eqtr4id 2218	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
13		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
14	13	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15		fzo0 10103	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2215	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
17	16	sumeq1d 11307	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
18		eqeq1 2172	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
20	19	eqeq1d 2174	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
21	18, 20	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
22	21, 2	vtoclg 2786	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
23	22	imp 123	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
24	6, 23	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
25	24	oveq2d 5858	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2208	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
27		eluzel2 9471	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		eluzelz 9475	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		fzofig 10367	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
32	28, 30, 31	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
36		elfzofz 10097	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
37	36	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
38	34, 35, 37	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41		fzofzp1 10162	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
42	41	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
43	40, 35, 42	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
44	32, 38, 43	fsumsub 11393	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	44	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
46	33	cbvsumv 11302	. . . . 5 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
47		eluzp1m1 9489	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
48	28, 47	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	30	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
50		fzoval 10083	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
52		fzossfz 10100	. . . . . . . . . 10 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
53	51, 52	eqsstrrdi 3195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	4	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
57	48, 56, 2	fsum1p 11359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
58	51	sumeq1d 11307	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
59		fzoval 10083	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
61	60	sumeq1d 11307	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
62	61	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
64	46, 63	eqtr3id 2213	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
65		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
66		fzp1ss 10008	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
68	67	sselda 3142	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
69	68, 4	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
71	65, 70, 19	fsumm1 11357	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
72		1zzd 9218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73	28	peano2zd 9316	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11386	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
75	28	zcnd 9314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
76		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
77		pncan 8104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	75, 76, 77	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
79	78	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	eqtr4d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
82	81	sumeq1d 11307	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
83	74, 82	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
84	83	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
86	85	sumeq1d 11307	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
87	86	oveq1d 5857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
88		fzofig 10367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
89	73, 30, 88	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
90		elfzofz 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
91	90, 69	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
92	89, 91	fsumcl 11341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
93	19	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
94		eluzfz2 9967	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
96	93, 5, 95	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
97	92, 96	addcomd 8049	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
98	87, 97	eqtr3d 2200	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
99	98	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2206	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
101	64, 100	oveq12d 5860	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
103	102	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
104	45, 101, 103	3eqtrd 2202	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
105		uzp1 9499	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	6, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	26, 104, 106	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  telfsumo2  11408  telfsum  11409  geosergap  11447