Theorem telfsumo 11972

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11894	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> A = D )
3	2	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzfz1 10223	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
9	3, 5, 8	rspcdva 2912	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 8441	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12	1, 11	eqtr4id 2281	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
13		oveq2 6008	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15		fzo0 10362	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
17	16	sumeq1d 11872	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
18		eqeq1 2236	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
20	19	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
22	21, 2	vtoclg 2861	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
23	22	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
24	6, 23	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
25	24	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
27		eluzel2 9723	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		eluzelz 9727	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		fzofig 10649	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
36		elfzofz 10355	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
38	34, 35, 37	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41		fzofzp1 10428	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
43	40, 35, 42	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
44	32, 38, 43	fsumsub 11958	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
46	33	cbvsumv 11867	. . . . 5 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
47		eluzp1m1 9742	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
48	28, 47	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
50		fzoval 10340	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
52		fzossfz 10358	. . . . . . . . . 10 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
53	51, 52	eqsstrrdi 3277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	4	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
57	48, 56, 2	fsum1p 11924	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
58	51	sumeq1d 11872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
59		fzoval 10340	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
61	60	sumeq1d 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
62	61	oveq2d 6016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
64	46, 63	eqtr3id 2276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
65		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
66		fzp1ss 10265	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
68	67	sselda 3224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
69	68, 4	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
71	65, 70, 19	fsumm1 11922	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
72		1zzd 9469	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73	28	peano2zd 9568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11951	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
75	28	zcnd 9566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
76		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
77		pncan 8348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	75, 76, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
79	78	oveq1d 6015	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
82	81	sumeq1d 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
83	74, 82	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
86	85	sumeq1d 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
87	86	oveq1d 6015	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
88		fzofig 10649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
89	73, 30, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
90		elfzofz 10355	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
91	90, 69	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
92	89, 91	fsumcl 11906	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
93	19	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
94		eluzfz2 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
96	93, 5, 95	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
97	92, 96	addcomd 8293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
98	87, 97	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
99	98	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
101	64, 100	oveq12d 6018	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8491	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
103	102	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
104	45, 101, 103	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
105		uzp1 9752	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	6, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	26, 104, 106	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   - cmin 8313   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334   sum_csu 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860

This theorem is referenced by:  telfsumo2  11973  telfsum  11974  geosergap  12012