Theorem telfsumo 12017

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11939	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> A = D )
3	2	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzfz1 10256	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
9	3, 5, 8	rspcdva 2913	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 8468	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12	1, 11	eqtr4id 2281	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
13		oveq2 6021	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15		fzo0 10395	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
17	16	sumeq1d 11917	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
18		eqeq1 2236	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
20	19	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
22	21, 2	vtoclg 2862	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
23	22	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
24	6, 23	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
25	24	oveq2d 6029	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
27		eluzel2 9750	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		eluzelz 9755	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		fzofig 10684	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
36		elfzofz 10388	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
38	34, 35, 37	rspcdva 2913	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41		fzofzp1 10462	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
43	40, 35, 42	rspcdva 2913	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
44	32, 38, 43	fsumsub 12003	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
46	33	cbvsumv 11912	. . . . 5 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
47		eluzp1m1 9770	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
48	28, 47	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
50		fzoval 10373	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
52		fzossfz 10391	. . . . . . . . . 10 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
53	51, 52	eqsstrrdi 3278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	4	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
57	48, 56, 2	fsum1p 11969	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
58	51	sumeq1d 11917	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
59		fzoval 10373	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
61	60	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
62	61	oveq2d 6029	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
64	46, 63	eqtr3id 2276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
65		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
66		fzp1ss 10298	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
68	67	sselda 3225	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
69	68, 4	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
71	65, 70, 19	fsumm1 11967	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
72		1zzd 9496	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73	28	peano2zd 9595	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11996	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
75	28	zcnd 9593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
76		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
77		pncan 8375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	75, 76, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
79	78	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
82	81	sumeq1d 11917	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
83	74, 82	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
86	85	sumeq1d 11917	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
87	86	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
88		fzofig 10684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
89	73, 30, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
90		elfzofz 10388	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
91	90, 69	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
92	89, 91	fsumcl 11951	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
93	19	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
94		eluzfz2 10257	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
96	93, 5, 95	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
97	92, 96	addcomd 8320	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
98	87, 97	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
99	98	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
101	64, 100	oveq12d 6031	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8518	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
103	102	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
104	45, 101, 103	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
105		uzp1 9780	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	6, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	26, 104, 106	mpjaodan 803	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   - cmin 8340   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  telfsumo2  12018  telfsum  12019  geosergap  12057