Theorem telfsumo 11487

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11409	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> A = D )
3	2	eleq1d 2256	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2560	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzfz1 10044	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
9	3, 5, 8	rspcdva 2858	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 8269	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12	1, 11	eqtr4id 2239	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
13		oveq2 5896	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15		fzo0 10181	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2236	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
17	16	sumeq1d 11387	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
18		eqeq1 2194	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
20	19	eqeq1d 2196	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
22	21, 2	vtoclg 2809	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
23	22	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
24	6, 23	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
25	24	oveq2d 5904	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2230	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
27		eluzel2 9546	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		eluzelz 9550	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		fzofig 10445	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2256	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
36		elfzofz 10175	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
38	34, 35, 37	rspcdva 2858	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2256	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41		fzofzp1 10240	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
43	40, 35, 42	rspcdva 2858	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
44	32, 38, 43	fsumsub 11473	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
46	33	cbvsumv 11382	. . . . 5 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
47		eluzp1m1 9564	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
48	28, 47	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
50		fzoval 10161	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
52		fzossfz 10178	. . . . . . . . . 10 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
53	51, 52	eqsstrrdi 3220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	4	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
57	48, 56, 2	fsum1p 11439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
58	51	sumeq1d 11387	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
59		fzoval 10161	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
61	60	sumeq1d 11387	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
62	61	oveq2d 5904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
64	46, 63	eqtr3id 2234	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
65		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
66		fzp1ss 10086	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
68	67	sselda 3167	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
69	68, 4	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
71	65, 70, 19	fsumm1 11437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
72		1zzd 9293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73	28	peano2zd 9391	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11466	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
75	28	zcnd 9389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
76		ax-1cn 7917	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
77		pncan 8176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	75, 76, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
79	78	oveq1d 5903	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	eqtr4d 2223	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
82	81	sumeq1d 11387	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
83	74, 82	eqtrd 2220	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
86	85	sumeq1d 11387	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
87	86	oveq1d 5903	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
88		fzofig 10445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
89	73, 30, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
90		elfzofz 10175	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
91	90, 69	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
92	89, 91	fsumcl 11421	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
93	19	eleq1d 2256	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
94		eluzfz2 10045	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
96	93, 5, 95	rspcdva 2858	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
97	92, 96	addcomd 8121	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
98	87, 97	eqtr3d 2222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
99	98	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
101	64, 100	oveq12d 5906	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8319	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
103	102	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
104	45, 101, 103	3eqtrd 2224	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
105		uzp1 9574	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	6, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	26, 104, 106	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   C_ wss 3141   (/)c0 3434   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6753   CCcc 7822   0cc0 7824   1c1 7825   + caddc 7827   - cmin 8141   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021  ..^cfzo 10155   sum_csu 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375

This theorem is referenced by:  telfsumo2  11488  telfsum  11489  geosergap  11527