Theorem telfsumo 11650

Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
telfsumo.1	|- ( k = j -> A = B )
telfsumo.2	|- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
telfsumo.3	|- ( k = M -> A = D )
telfsumo.4	|- ( k = N -> A = E )
telfsumo.5	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telfsumo.6	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
telfsumo	|- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Distinct variable groups:   A, j   B, k   C, k   j, k, M   j, N, k   ph, j, k   D, k   k, E

Allowed substitution hints:   A( k)   B( j)   C( j)   D( j)   E( j)

Proof of Theorem telfsumo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11572	. . . 4 |- sum_ j e. (/) ( B - C ) = 0
2		telfsumo.3	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> A = D )
3	2	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> D e. CC ) )
4		telfsumo.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
5	4	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
6		telfsumo.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
7		eluzfz1 10125	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
9	3, 5, 8	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> D e. CC )
11	10	subidd 8344	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - D ) = 0 )
12	1, 11	eqtr4id 2248	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. (/) ( B - C ) = ( D - D ) )
13		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( N = M -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
14	13	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = ( M..^ M ) )
15		fzo0 10263	. . . . 5 |- ( M..^ M ) = (/)
16	14, 15	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( M..^ N ) = (/) )
17	16	sumeq1d 11550	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = sum_ j e. (/) ( B - C ) )
18		eqeq1 2203	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( k = M <-> N = M ) )
19		telfsumo.4	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> A = E )
20	19	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( A = D <-> E = D ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( k = M -> A = D ) <-> ( N = M -> E = D ) ) )
22	21, 2	vtoclg 2824	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M -> E = D ) )
23	22	imp 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N = M ) -> E = D )
24	6, 23	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = M ) -> E = D )
25	24	oveq2d 5941	. . 3 |- ( ( ph /\ N = M ) -> ( D - E ) = ( D - D ) )
26	12, 17, 25	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( ( ph /\ N = M ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
27		eluzel2 9625	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
28	6, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
29		eluzelz 9629	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
30	6, 29	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
31		fzofig 10543	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M..^ N ) e. Fin )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( M..^ N ) e. Fin )
33		telfsumo.1	. . . . . . 7 |- ( k = j -> A = B )
34	33	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
35	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
36		elfzofz 10257	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( M ... N ) )
37	36	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( M ... N ) )
38	34, 35, 37	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> B e. CC )
39		telfsumo.2	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> A = C )
40	39	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A e. CC <-> C e. CC ) )
41		fzofzp1 10322	. . . . . . 7 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
43	40, 35, 42	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> C e. CC )
44	32, 38, 43	fsumsub 11636	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
45	44	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) )
46	33	cbvsumv 11545	. . . . 5 |- sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) B
47		eluzp1m1 9644	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
48	28, 47	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
49	30	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
50		fzoval 10242	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
52		fzossfz 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( M..^ N ) C_ ( M ... N )
53	51, 52	eqsstrrdi 3237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
54	53	sselda 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
55	4	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A e. CC )
57	48, 56, 2	fsum1p 11602	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
58	51	sumeq1d 11550	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) A )
59		fzoval 10242	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
60	49, 59	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
61	60	sumeq1d 11550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
62	61	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A ) )
63	57, 58, 62	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( M..^ N ) A = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
64	46, 63	eqtr3id 2243	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) B = ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
65		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
66		fzp1ss 10167	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
67	28, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
68	67	sselda 3184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
69	68, 4	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
70	69	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
71	65, 70, 19	fsumm1 11600	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
72		1zzd 9372	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
73	28	peano2zd 9470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
74	72, 73, 30, 69, 39	fsumshftm 11629	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C )
75	28	zcnd 9468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
76		ax-1cn 7991	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
77		pncan 8251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
78	75, 76, 77	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
79	78	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
80	30, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
82	81	sumeq1d 11550	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( ( ( M + 1 ) - 1 ) ... ( N - 1 ) ) C = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
83	74, 82	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A = sum_ j e. ( M..^ N ) C )
85	30, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
86	85	sumeq1d 11550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A )
87	86	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) )
88		fzofig 10543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
89	73, 30, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 )..^ N ) e. Fin )
90		elfzofz 10257	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 )..^ N ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
91	90, 69	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) ) -> A e. CC )
92	89, 91	fsumcl 11584	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A e. CC )
93	19	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( A e. CC <-> E e. CC ) )
94		eluzfz2 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
95	6, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
96	93, 5, 95	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. CC )
97	92, 96	addcomd 8196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
98	87, 97	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
99	98	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... ( N - 1 ) ) A + E ) = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
100	71, 84, 99	3eqtr3d 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) C = ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) )
101	64, 100	oveq12d 5943	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( M..^ N ) B - sum_ j e. ( M..^ N ) C ) = ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) )
102	9, 96, 92	pnpcan2d 8394	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
103	102	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( D + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) - ( E + sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ N ) A ) ) = ( D - E ) )
104	45, 101, 103	3eqtrd 2233	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )
105		uzp1 9654	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	6, 105	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N = M \/ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	26, 104, 106	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> sum_ j e. ( M..^ N ) ( B - C ) = ( D - E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7896   0cc0 7898   1c1 7899   + caddc 7901   - cmin 8216   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   ...cfz 10102  ..^cfzo 10236   sum_csu 11537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538

This theorem is referenced by:  telfsumo2  11651  telfsum  11652  geosergap  11690