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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > telfsumo | Unicode version |
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) |
Ref | Expression |
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telfsumo.1 |
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telfsumo.2 |
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telfsumo.3 |
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telfsumo.4 |
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telfsumo.5 |
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telfsumo.6 |
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telfsumo |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | sum0 11189 |
. . . 4
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2 | telfsumo.3 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | eleq1d 2209 |
. . . . . . 7
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4 | telfsumo.6 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . 7
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6 | telfsumo.5 |
. . . . . . . 8
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7 | eluzfz1 9842 |
. . . . . . . 8
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8 | 6, 7 | syl 14 |
. . . . . . 7
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9 | 3, 5, 8 | rspcdva 2798 |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantr 274 |
. . . . 5
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11 | 10 | subidd 8085 |
. . . 4
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12 | 1, 11 | eqtr4id 2192 |
. . 3
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13 | oveq2 5790 |
. . . . . 6
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14 | 13 | adantl 275 |
. . . . 5
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15 | fzo0 9976 |
. . . . 5
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16 | 14, 15 | eqtrdi 2189 |
. . . 4
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17 | 16 | sumeq1d 11167 |
. . 3
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18 | eqeq1 2147 |
. . . . . . . 8
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19 | telfsumo.4 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | eqeq1d 2149 |
. . . . . . . 8
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21 | 18, 20 | imbi12d 233 |
. . . . . . 7
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22 | 21, 2 | vtoclg 2749 |
. . . . . 6
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23 | 22 | imp 123 |
. . . . 5
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24 | 6, 23 | sylan 281 |
. . . 4
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25 | 24 | oveq2d 5798 |
. . 3
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26 | 12, 17, 25 | 3eqtr4d 2183 |
. 2
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27 | eluzel2 9355 |
. . . . . . 7
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28 | 6, 27 | syl 14 |
. . . . . 6
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29 | eluzelz 9359 |
. . . . . . 7
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30 | 6, 29 | syl 14 |
. . . . . 6
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31 | fzofig 10236 |
. . . . . 6
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32 | 28, 30, 31 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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33 | telfsumo.1 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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35 | 5 | adantr 274 |
. . . . . 6
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36 | elfzofz 9970 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | adantl 275 |
. . . . . 6
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38 | 34, 35, 37 | rspcdva 2798 |
. . . . 5
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39 | telfsumo.2 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | eleq1d 2209 |
. . . . . 6
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41 | fzofzp1 10035 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | adantl 275 |
. . . . . 6
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43 | 40, 35, 42 | rspcdva 2798 |
. . . . 5
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44 | 32, 38, 43 | fsumsub 11253 |
. . . 4
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45 | 44 | adantr 274 |
. . 3
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46 | 33 | cbvsumv 11162 |
. . . . 5
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47 | eluzp1m1 9373 |
. . . . . . . 8
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48 | 28, 47 | sylan 281 |
. . . . . . 7
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49 | 30 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | fzoval 9956 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 49, 50 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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52 | fzossfz 9973 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 51, 52 | eqsstrrdi 3155 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | sselda 3102 |
. . . . . . . 8
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55 | 4 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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56 | 54, 55 | syldan 280 |
. . . . . . 7
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57 | 48, 56, 2 | fsum1p 11219 |
. . . . . 6
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58 | 51 | sumeq1d 11167 |
. . . . . 6
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59 | fzoval 9956 |
. . . . . . . . 9
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60 | 49, 59 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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61 | 60 | sumeq1d 11167 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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63 | 57, 58, 62 | 3eqtr4d 2183 |
. . . . 5
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64 | 46, 63 | syl5eqr 2187 |
. . . 4
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65 | simpr 109 |
. . . . . 6
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66 | fzp1ss 9884 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 28, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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68 | 67 | sselda 3102 |
. . . . . . . 8
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69 | 68, 4 | syldan 280 |
. . . . . . 7
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70 | 69 | adantlr 469 |
. . . . . 6
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71 | 65, 70, 19 | fsumm1 11217 |
. . . . 5
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72 | 1zzd 9105 |
. . . . . . . 8
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73 | 28 | peano2zd 9200 |
. . . . . . . 8
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74 | 72, 73, 30, 69, 39 | fsumshftm 11246 |
. . . . . . 7
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75 | 28 | zcnd 9198 |
. . . . . . . . . . 11
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76 | ax-1cn 7737 |
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77 | pncan 7992 |
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78 | 75, 76, 77 | sylancl 410 |
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79 | 78 | oveq1d 5797 |
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80 | 30, 50 | syl 14 |
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81 | 79, 80 | eqtr4d 2176 |
. . . . . . . 8
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82 | 81 | sumeq1d 11167 |
. . . . . . 7
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83 | 74, 82 | eqtrd 2173 |
. . . . . 6
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84 | 83 | adantr 274 |
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85 | 30, 59 | syl 14 |
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86 | 85 | sumeq1d 11167 |
. . . . . . . 8
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87 | 86 | oveq1d 5797 |
. . . . . . 7
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88 | fzofig 10236 |
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89 | 73, 30, 88 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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90 | elfzofz 9970 |
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91 | 90, 69 | sylan2 284 |
. . . . . . . . 9
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92 | 89, 91 | fsumcl 11201 |
. . . . . . . 8
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93 | 19 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . . 9
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94 | eluzfz2 9843 |
. . . . . . . . . 10
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95 | 6, 94 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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96 | 93, 5, 95 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . 8
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97 | 92, 96 | addcomd 7937 |
. . . . . . 7
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98 | 87, 97 | eqtr3d 2175 |
. . . . . 6
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99 | 98 | adantr 274 |
. . . . 5
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100 | 71, 84, 99 | 3eqtr3d 2181 |
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101 | 64, 100 | oveq12d 5800 |
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102 | 9, 96, 92 | pnpcan2d 8135 |
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103 | 102 | adantr 274 |
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104 | 45, 101, 103 | 3eqtrd 2177 |
. 2
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105 | uzp1 9383 |
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106 | 6, 105 | syl 14 |
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107 | 26, 104, 106 | mpjaodan 788 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 |
This theorem is referenced by: telfsumo2 11268 telfsum 11269 geosergap 11307 |
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