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Theorem telfsumo 10856
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
telfsumo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
telfsumo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
telfsumo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
telfsumo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
telfsumo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
telfsumo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
telfsumo  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem telfsumo
StepHypRef Expression
1 telfsumo.3 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
21eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
3 telfsumo.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
43ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
5 telfsumo.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 eluzfz1 9443 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
75, 6syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
82, 4, 7rspcdva 2727 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
98adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  D  e.  CC )
109subidd 7779 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  D )  =  0 )
11 sum0 10776 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  0
1210, 11syl6reqr 2139 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  ( D  -  D ) )
13 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( N  =  M  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
1413adantl 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
15 fzo0 9575 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2136 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
1716sumeq1d 10751 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C ) )
18 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
k  =  M  <->  N  =  M ) )
19 telfsumo.4 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
2019eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  D  <->  E  =  D ) )
2118, 20imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( k  =  M  ->  A  =  D )  <->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) ) )
2221, 1vtoclg 2679 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) )
2322imp 122 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
245, 23sylan 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
2524oveq2d 5668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  E )  =  ( D  -  D ) )
2612, 17, 253eqtr4d 2130 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
27 eluzel2 9022 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
285, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
29 eluzelz 9026 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
305, 29syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
31 fzofig 9835 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
3228, 30, 31syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
33 telfsumo.1 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
3433eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
354adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
36 elfzofz 9569 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
3736adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  j  e.  ( M ... N ) )
3834, 35, 37rspcdva 2727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
39 telfsumo.2 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
4039eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
41 fzofzp1 9634 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
4241adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
4340, 35, 42rspcdva 2727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
4432, 38, 43fsumsub 10842 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4544adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4633cbvsumv 10746 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B
47 eluzp1m1 9040 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4828, 47sylan 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4930adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
50 fzoval 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
52 fzossfz 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( M..^ N )  C_  ( M ... N )
5351, 52syl6eqssr 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5453sselda 3025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
553adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  A  e.  CC )
5654, 55syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
5748, 56, 1fsum1p 10808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
5851sumeq1d 10751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A )
59 fzoval 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6049, 59syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6160sumeq1d 10751 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
6261oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6357, 58, 623eqtr4d 2130 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
6446, 63syl5eqr 2134 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
65 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
66 fzp1ss 9483 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
6728, 66syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
6867sselda 3025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
6968, 3syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7069adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7165, 70, 19fsumm1 10806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
72 1zzd 8775 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7328peano2zd 8869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7472, 73, 30, 69, 39fsumshftm 10835 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) C )
7528zcnd 8867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
76 ax-1cn 7436 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
77 pncan 7686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7875, 76, 77sylancl 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
7978oveq1d 5667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
8030, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
8179, 80eqtr4d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
8281sumeq1d 10751 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) C  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8374, 82eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8483adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8530, 59syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8685sumeq1d 10751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
8786oveq1d 5667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
88 fzofig 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
8973, 30, 88syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
90 elfzofz 9569 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
9190, 69sylan2 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
9289, 91fsumcl 10790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  e.  CC )
9319eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
94 eluzfz2 9444 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
955, 94syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
9693, 4, 95rspcdva 2727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
9792, 96addcomd 7631 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
9887, 97eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
9998adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10071, 84, 993eqtr3d 2128 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10164, 100oveq12d 5670 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) ) )
1028, 96, 92pnpcan2d 7829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E ) )
103102adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E
) )
10445, 101, 1033eqtrd 2124 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
105 uzp1 9050 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1065, 105syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
10726, 104, 106mpjaodan 747 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    - cmin 7651   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422  ..^cfzo 9549   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  telfsumo2  10857  telfsum  10858  geosergap  10896
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