Theorem nconstwlpo 14097

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies om e. WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	|- ( ph -> F : RR --> ZZ )
nconstwlpo.0	|- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
nconstwlpo.rp	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	|- ( ph -> om e. WOmni )

Distinct variable groups:   ph, x   x, F

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables g i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> ZZ )
2	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> F : RR --> ZZ )
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
6	5	adantlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
7		elmapi 6648	. . . . . . 7 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
8	7	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
9		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
10	9	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
11		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( g ` i ) = ( g ` j ) )
12	10, 11	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) ) )
13	12	cbvsumv 11324	. . . . . 6 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) )
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 14096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
15		df-dc 830	. . . . 5 |- (DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 <-> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
17	16	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
18		nnex 8884	. . . 4 |- NN e. _V
19		iswomni0 14083	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
21	17, 20	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> NN e. WOmni )
22		nnenom 10390	. . 3 |- NN ~~ om
23		enwomni 7146	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni )
25	21, 24	sylib 121	1 |- ( ph -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   _Vcvv 2730   {cpr 3584   class class class wbr 3989   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   ~~ cen 6716  WOmnicwomni 7139   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   RR+crp 9610   ^cexp 10475   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-womni 7140  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by: (None)