Theorem nconstwlpo 15797

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies om e. WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	|- ( ph -> F : RR --> ZZ )
nconstwlpo.0	|- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
nconstwlpo.rp	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	|- ( ph -> om e. WOmni )

Distinct variable groups:   ph, x   x, F

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables g i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> ZZ )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> F : RR --> ZZ )
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
6	5	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
7		elmapi 6738	. . . . . . 7 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
9		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
10	9	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
11		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( g ` i ) = ( g ` j ) )
12	10, 11	oveq12d 5943	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) ) )
13	12	cbvsumv 11543	. . . . . 6 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) )
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 15796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
15		df-dc 836	. . . . 5 |- (DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 <-> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
17	16	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
18		nnex 9013	. . . 4 |- NN e. _V
19		iswomni0 15782	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
21	17, 20	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> NN e. WOmni )
22		nnenom 10543	. . 3 |- NN ~~ om
23		enwomni 7245	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   _Vcvv 2763   {cpr 3624   class class class wbr 4034   omcom 4627   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   ~~ cen 6806  WOmnicwomni 7238   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   RR+crp 9745   ^cexp 10647   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-womni 7239  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by: (None)