Theorem nconstwlpo 17021

Description: Existence of a certain non-constant function from reals to integers implies om e. WOmni (the Weak Limited Principle of Omniscience or WLPO). Based on Exercise 11.6(ii) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconstwlpo.f	|- ( ph -> F : RR --> ZZ )
nconstwlpo.0	|- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
nconstwlpo.rp	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
nconstwlpo	|- ( ph -> om e. WOmni )

Distinct variable groups:   ph, x   x, F

Proof of Theorem nconstwlpo

Dummy variables g i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconstwlpo.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> ZZ )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> F : RR --> ZZ )
3		nconstwlpo.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
5		nconstwlpo.rp	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
6	5	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( F ` x ) =/= 0 )
7		elmapi 6934	. . . . . . 7 |- ( g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
8	7	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> g : NN --> { 0 , 1 } )
9		oveq2 6083	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ j ) )
10	9	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ j ) ) )
11		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( g ` i ) = ( g ` j ) )
12	10, 11	oveq12d 6093	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) ) )
13	12	cbvsumv 12105	. . . . . 6 |- sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( g ` i ) ) = sum_ j e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ j ) ) x. ( g ` j ) )
14	2, 4, 6, 8, 13	nconstwlpolem 17020	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
15		df-dc 847	. . . . 5 |- (DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 <-> ( A. y e. NN ( g ` y ) = 0 \/ -. A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) ) -> DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
17	16	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ph -> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
18		nnex 9289	. . . 4 |- NN e. _V
19		iswomni0 17006	. . . 4 |- ( NN e. _V -> ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( NN e. WOmni <-> A. g e. ( { 0 , 1 } ^m NN )DECID A. y e. NN ( g ` y ) = 0 )
21	17, 20	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> NN e. WOmni )
22		nnenom 10849	. . 3 |- NN ~~ om
23		enwomni 7500	. . 3 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. 2 |- ( NN e. WOmni <-> om e. WOmni )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> om e. WOmni )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   _Vcvv 2821   {cpr 3706   class class class wbr 4125   omcom 4732   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   ~~ cen 7010  WOmnicwomni 7493   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   RR+crp 10033   ^cexp 10953   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-womni 7494  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by: (None)