Theorem efaddlem 12419

Description: Lemma for efadd 12420 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.4	|- ( ph -> A e. CC )
efadd.5	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	|- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( n)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables j k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		efadd.5	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3	1, 2	addcld 8335	. . 3 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
4		efadd.3	. . . 4 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	efcvg 12411	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
7		efadd.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
8	7	eftvalcn 12402	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
9	1, 8	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
10		absexp 11823	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
11	1, 10	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
12		faccl 11151	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> ( ! ` j ) e. NN )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. NN )
14		nnre 9290	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. RR )
15		nnnn0 9549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. NN0 )
16	15	nn0ge0d 9602	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` j ) )
17	14, 16	absidd 11911	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
19	11, 18	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
20		expcl 10972	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
22	13	nncnd 9297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. CC )
23	13	nnap0d 9329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) # 0 )
24	21, 22, 23	absdivapd 11939	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) )
25	1	abscld 11925	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
26	25	recnd 8344	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
27		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28	27	eftvalcn 12402	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
29	26, 28	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
30	19, 24, 29	3eqtr4rd 2282	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
31		eftcl 12399	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
32	1, 31	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
33		efadd.2	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
34	33	eftvalcn 12402	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	2, 34	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		eftcl 12399	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
37	2, 36	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
38	4	eftvalcn 12402	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	3, 38	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
41	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
42		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
43		binom 12229	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
45	44	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
46		0zd 9635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
47	42	nn0zd 9745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
48	46, 47	fzfigd 10846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
49		faccl 11151	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nncnd 9297	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
52		bccl2 11184	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) e. NN )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. NN )
54	53	nncnd 9297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. CC )
55	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
56		fznn0sub 10441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
58	55, 57	expcld 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( k - j ) ) e. CC )
59	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> B e. CC )
60		elfznn0 10499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. NN0 )
62	59, 61	expcld 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ j ) e. CC )
63	58, 62	mulcld 8336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) e. CC )
64	54, 63	mulcld 8336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) e. CC )
65	50	nnap0d 9329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
66	48, 51, 64, 65	fsumdivapc 12195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
67	55, 61	expcld 11089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ j ) e. CC )
68	61, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. NN )
69	68	nncnd 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. CC )
70	68	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) # 0 )
71	67, 69, 70	divclapd 9110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
72	33	eftvalcn 12402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( k - j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
73	59, 57, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
74	59, 57	expcld 11089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ ( k - j ) ) e. CC )
75		faccl 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - j ) e. NN0 -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
76	57, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. CC )
78	76	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) # 0 )
79	74, 77, 78	divclapd 9110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) e. CC )
80	73, 79	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
81	71, 80	mulcld 8336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
82		oveq2 6083	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
83		fveq2 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
84	82, 83	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
85		oveq2 6083	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( k - j ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
86	85	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
87	84, 86	oveq12d 6093	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
88	46, 47, 81, 87	fisumrev2 12191	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
89	33	eftvalcn 12402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
90	59, 61, 89	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
91	90	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
92	76, 68	nnmulcld 9332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. NN )
93	92	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. CC )
94	77, 69, 78, 70	mulap0d 8976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) # 0 )
95	63, 93, 94	divrecap2d 9114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
96	58, 77, 62, 69, 78, 70	divmuldivapd 9152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
97		bcval2 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
99	98	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
100	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
101	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
102	100, 93, 100, 94, 101	divdiv32apd 9136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
103	100, 101	dividapd 9106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
107	106	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
108	95, 96, 107	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
109	91, 108	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
110		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
111	110	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. CC )
112	111	addlidd 8466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( 0 + k ) = k )
113	112	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( k - j ) )
114	113	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( k - j ) ) )
115	113	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( k - j ) ) )
116	114, 115	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
117	113	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( k - j ) ) )
118		nn0cn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
119	61, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. CC )
120	111, 119	nncand 8632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( k - j ) ) = j )
121	117, 120	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = j )
122	121	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` j ) )
123	116, 122	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) )
124	54, 63, 100, 101	div23apd 9148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
125	109, 123, 124	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
126	125	sumeq2dv 12112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
127		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( ( 0 + k ) - m ) )
128	127	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
129	127	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
130	128, 129	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
131	127	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
132	131	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
133	130, 132	oveq12d 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
134	133	cbvsumv 12105	. . . . . . . . 9 |- sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
135	126, 134	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
136	88, 135	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
137	66, 136	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
138	45, 137	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
139	39, 138	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
140	27	efcllem 12404	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
141	26, 140	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
142	33	efcllem 12404	. . . . 5 |- ( B e. CC -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
143	2, 142	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
144	7	efcllem 12404	. . . . 5 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
145	1, 144	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
146	9, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145	mertensabs 12282	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
147		efval 12406	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
148	1, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
149		efval 12406	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
150	2, 149	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
151	148, 150	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ph -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) = ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
152	146, 151	breqtrrd 4153	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
153		climuni 12037	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) ) -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
154	6, 152, 153	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   dom cdm 4769   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ...cfz 10390   seqcseq 10862   ^cexp 10953   !cfa 11141   _C cbc 11163   abscabs 11741   ~~> cli 12022   sum_csu 12097   expce 12387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393

This theorem is referenced by:  efadd  12420