Theorem efaddlem 12385

Description: Lemma for efadd 12386 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.4	|- ( ph -> A e. CC )
efadd.5	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	|- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( n)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables j k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		efadd.5	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3	1, 2	addcld 8309	. . 3 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
4		efadd.3	. . . 4 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	efcvg 12377	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
7		efadd.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
8	7	eftvalcn 12368	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
9	1, 8	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
10		absexp 11789	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
11	1, 10	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
12		faccl 11122	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> ( ! ` j ) e. NN )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. NN )
14		nnre 9261	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. RR )
15		nnnn0 9520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. NN0 )
16	15	nn0ge0d 9573	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` j ) )
17	14, 16	absidd 11877	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
19	11, 18	oveq12d 6076	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
20		expcl 10943	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
22	13	nncnd 9268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. CC )
23	13	nnap0d 9300	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) # 0 )
24	21, 22, 23	absdivapd 11905	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) )
25	1	abscld 11891	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
26	25	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
27		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28	27	eftvalcn 12368	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
29	26, 28	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
30	19, 24, 29	3eqtr4rd 2278	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
31		eftcl 12365	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
32	1, 31	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
33		efadd.2	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
34	33	eftvalcn 12368	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	2, 34	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		eftcl 12365	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
37	2, 36	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
38	4	eftvalcn 12368	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	3, 38	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
41	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
42		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
43		binom 12195	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
45	44	oveq1d 6073	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
46		0zd 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
47	42	nn0zd 9716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
48	46, 47	fzfigd 10817	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
49		faccl 11122	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nncnd 9268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
52		bccl2 11155	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) e. NN )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. NN )
54	53	nncnd 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. CC )
55	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
56		fznn0sub 10412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
58	55, 57	expcld 11060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( k - j ) ) e. CC )
59	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> B e. CC )
60		elfznn0 10470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. NN0 )
62	59, 61	expcld 11060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ j ) e. CC )
63	58, 62	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) e. CC )
64	54, 63	mulcld 8310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) e. CC )
65	50	nnap0d 9300	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
66	48, 51, 64, 65	fsumdivapc 12161	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
67	55, 61	expcld 11060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ j ) e. CC )
68	61, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. NN )
69	68	nncnd 9268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. CC )
70	68	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) # 0 )
71	67, 69, 70	divclapd 9081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
72	33	eftvalcn 12368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( k - j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
73	59, 57, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
74	59, 57	expcld 11060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ ( k - j ) ) e. CC )
75		faccl 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - j ) e. NN0 -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
76	57, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. CC )
78	76	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) # 0 )
79	74, 77, 78	divclapd 9081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) e. CC )
80	73, 79	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
81	71, 80	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
82		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
83		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
84	82, 83	oveq12d 6076	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
85		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( k - j ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
86	85	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
87	84, 86	oveq12d 6076	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
88	46, 47, 81, 87	fisumrev2 12157	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
89	33	eftvalcn 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
90	59, 61, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
91	90	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
92	76, 68	nnmulcld 9303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. NN )
93	92	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. CC )
94	77, 69, 78, 70	mulap0d 8949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) # 0 )
95	63, 93, 94	divrecap2d 9085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
96	58, 77, 62, 69, 78, 70	divmuldivapd 9123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
97		bcval2 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
99	98	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
100	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
101	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
102	100, 93, 100, 94, 101	divdiv32apd 9107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
103	100, 101	dividapd 9077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
107	106	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
108	95, 96, 107	3eqtr4rd 2278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
109	91, 108	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
110		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
111	110	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. CC )
112	111	addlidd 8439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( 0 + k ) = k )
113	112	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( k - j ) )
114	113	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( k - j ) ) )
115	113	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( k - j ) ) )
116	114, 115	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
117	113	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( k - j ) ) )
118		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
119	61, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. CC )
120	111, 119	nncand 8605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( k - j ) ) = j )
121	117, 120	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = j )
122	121	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` j ) )
123	116, 122	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) )
124	54, 63, 100, 101	div23apd 9119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
125	109, 123, 124	3eqtr4rd 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
126	125	sumeq2dv 12078	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
127		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( ( 0 + k ) - m ) )
128	127	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
129	127	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
130	128, 129	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
131	127	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
132	131	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
133	130, 132	oveq12d 6076	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
134	133	cbvsumv 12071	. . . . . . . . 9 |- sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
135	126, 134	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
136	88, 135	eqtr4d 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
137	66, 136	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
138	45, 137	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
139	39, 138	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
140	27	efcllem 12370	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
141	26, 140	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
142	33	efcllem 12370	. . . . 5 |- ( B e. CC -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
143	2, 142	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
144	7	efcllem 12370	. . . . 5 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
145	1, 144	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
146	9, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145	mertensabs 12248	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
147		efval 12372	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
148	1, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
149		efval 12372	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
150	2, 149	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
151	148, 150	oveq12d 6076	. . 3 |- ( ph -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) = ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
152	146, 151	breqtrrd 4142	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
153		climuni 12003	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) ) -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
154	6, 152, 153	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ...cfz 10361   seqcseq 10833   ^cexp 10924   !cfa 11112   _C cbc 11134   abscabs 11707   ~~> cli 11988   sum_csu 12063   expce 12353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359

This theorem is referenced by:  efadd  12386