Theorem efaddlem 12018

Description: Lemma for efadd 12019 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efadd.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efadd.4	|- ( ph -> A e. CC )
efadd.5	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
efaddlem	|- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( n)

Proof of Theorem efaddlem

Dummy variables j k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efadd.4	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		efadd.5	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3	1, 2	addcld 8094	. . 3 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
4		efadd.3	. . . 4 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( A + B ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	efcvg 12010	. . 3 |- ( ( A + B ) e. CC -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) )
7		efadd.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
8	7	eftvalcn 12001	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
9	1, 8	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
10		absexp 11423	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
11	1, 10	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ j ) ) = ( ( abs ` A ) ^ j ) )
12		faccl 10882	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> ( ! ` j ) e. NN )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. NN )
14		nnre 9045	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. RR )
15		nnnn0 9304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( ! ` j ) e. NN0 )
16	15	nn0ge0d 9353	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> 0 <_ ( ! ` j ) )
17	14, 16	absidd 11511	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` j ) e. NN -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ! ` j ) ) = ( ! ` j ) )
19	11, 18	oveq12d 5964	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
20		expcl 10704	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
21	1, 20	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( A ^ j ) e. CC )
22	13	nncnd 9052	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) e. CC )
23	13	nnap0d 9084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` j ) # 0 )
24	21, 22, 23	absdivapd 11539	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ j ) ) / ( abs ` ( ! ` j ) ) ) )
25	1	abscld 11525	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
26	25	recnd 8103	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
27		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28	27	eftvalcn 12001	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
29	26, 28	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( ( ( abs ` A ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
30	19, 24, 29	3eqtr4rd 2249	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` j ) = ( abs ` ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
31		eftcl 11998	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
32	1, 31	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
33		efadd.2	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( B ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
34	33	eftvalcn 12001	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	2, 34	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		eftcl 11998	. . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
37	2, 36	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
38	4	eftvalcn 12001	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
39	3, 38	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
40	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
41	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
42		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
43		binom 11828	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
45	44	oveq1d 5961	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
46		0zd 9386	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
47	42	nn0zd 9495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
48	46, 47	fzfigd 10578	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
49		faccl 10882	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
51	50	nncnd 9052	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
52		bccl2 10915	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) e. NN )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. NN )
54	53	nncnd 9052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) e. CC )
55	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> A e. CC )
56		fznn0sub 10181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k - j ) e. NN0 )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - j ) e. NN0 )
58	55, 57	expcld 10820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( k - j ) ) e. CC )
59	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> B e. CC )
60		elfznn0 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> j e. NN0 )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. NN0 )
62	59, 61	expcld 10820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ j ) e. CC )
63	58, 62	mulcld 8095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) e. CC )
64	54, 63	mulcld 8095	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) e. CC )
65	50	nnap0d 9084	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) # 0 )
66	48, 51, 64, 65	fsumdivapc 11794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
67	55, 61	expcld 10820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ j ) e. CC )
68	61, 12	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. NN )
69	68	nncnd 9052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) e. CC )
70	68	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` j ) # 0 )
71	67, 69, 70	divclapd 8865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
72	33	eftvalcn 12001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( k - j ) e. NN0 ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
73	59, 57, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
74	59, 57	expcld 10820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( B ^ ( k - j ) ) e. CC )
75		faccl 10882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - j ) e. NN0 -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
76	57, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. NN )
77	76	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) e. CC )
78	76	nnap0d 9084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( k - j ) ) # 0 )
79	74, 77, 78	divclapd 8865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( B ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) e. CC )
80	73, 79	eqeltrd 2282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - j ) ) e. CC )
81	71, 80	mulcld 8095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) e. CC )
82		oveq2 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
83		fveq2 5578	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
84	82, 83	oveq12d 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
85		oveq2 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( k - j ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
86	85	fveq2d 5582	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( G ` ( k - j ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
87	84, 86	oveq12d 5964	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( ( 0 + k ) - m ) -> ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
88	46, 47, 81, 87	fisumrev2 11790	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
89	33	eftvalcn 12001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
90	59, 61, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` j ) = ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
91	90	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
92	76, 68	nnmulcld 9087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. NN )
93	92	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) e. CC )
94	77, 69, 78, 70	mulap0d 8733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) # 0 )
95	63, 93, 94	divrecap2d 8869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
96	58, 77, 62, 69, 78, 70	divmuldivapd 8907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
97		bcval2 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... k ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k _C j ) = ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
99	98	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
100	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
101	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
102	100, 93, 100, 94, 101	divdiv32apd 8891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
103	100, 101	dividapd 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ! ` k ) ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( ! ` k ) / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
106	99, 105	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) )
107	106	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( 1 / ( ( ! ` ( k - j ) ) x. ( ! ` j ) ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
108	95, 96, 107	3eqtr4rd 2249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( ( B ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
109	91, 108	eqtr4d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
110		nn0cn 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
111	110	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> k e. CC )
112	111	addlidd 8224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( 0 + k ) = k )
113	112	oveq1d 5961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( k - j ) )
114	113	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( k - j ) ) )
115	113	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( k - j ) ) )
116	114, 115	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) )
117	113	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( k - j ) ) )
118		nn0cn 9307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
119	61, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> j e. CC )
120	111, 119	nncand 8390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( k - j ) ) = j )
121	117, 120	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = j )
122	121	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` j ) )
123	116, 122	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( k - j ) ) / ( ! ` ( k - j ) ) ) x. ( G ` j ) ) )
124	54, 63, 100, 101	div23apd 8903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( k _C j ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) )
125	109, 123, 124	3eqtr4rd 2249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ j e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
126	125	sumeq2dv 11712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) )
127		oveq2 5954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = m -> ( ( 0 + k ) - j ) = ( ( 0 + k ) - m ) )
128	127	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) )
129	127	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) )
130	128, 129	oveq12d 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
131	127	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = m -> ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) = ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) )
132	131	fveq2d 5582	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) = ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
133	130, 132	oveq12d 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
134	133	cbvsumv 11705	. . . . . . . . 9 |- sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - j ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - j ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - j ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) )
135	126, 134	eqtrdi 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ m e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ ( ( 0 + k ) - m ) ) / ( ! ` ( ( 0 + k ) - m ) ) ) x. ( G ` ( k - ( ( 0 + k ) - m ) ) ) ) )
136	88, 135	eqtr4d 2241	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) )
137	66, 136	eqtr4d 2241	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( k _C j ) x. ( ( A ^ ( k - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
138	45, 137	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
139	39, 138	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
140	27	efcllem 12003	. . . . 5 |- ( ( abs ` A ) e. CC -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
141	26, 140	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
142	33	efcllem 12003	. . . . 5 |- ( B e. CC -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
143	2, 142	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
144	7	efcllem 12003	. . . . 5 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
145	1, 144	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
146	9, 30, 32, 35, 37, 139, 141, 143, 145	mertensabs 11881	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
147		efval 12005	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
148	1, 147	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` A ) = sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
149		efval 12005	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
150	2, 149	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` B ) = sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
151	148, 150	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ph -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) = ( sum_ j e. NN0 ( ( A ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. sum_ k e. NN0 ( ( B ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
152	146, 151	breqtrrd 4073	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
153		climuni 11637	. 2 |- ( ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( exp ` ( A + B ) ) /\ seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) ) -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )
154	6, 152, 153	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( exp ` ( A + B ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   |-> cmpt 4106   dom cdm 4676   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   - cmin 8245   # cap 8656   / cdiv 8747   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ...cfz 10132   seqcseq 10594   ^cexp 10685   !cfa 10872   _C cbc 10894   abscabs 11341   ~~> cli 11622   sum_csu 11697   expce 11986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-ico 10018  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-fac 10873  df-bc 10895  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698  df-ef 11992

This theorem is referenced by:  efadd  12019