Theorem isumge0 12112

Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumrecl.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumrecl.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumrecl.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
isumrecl.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
isumrecl.5	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
isumge0.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
isumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. Z A )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem isumge0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrecl.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		isumrecl.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		isumrecl.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
4		isumrecl.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. RR )
5	4	recnd 8301	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
6		isumrecl.5	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
7	1, 2, 3, 5, 6	isumclim2 12104	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. Z A )
8		fveq2 5669	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
9	8	cbvsumv 12042	. . . . 5 |- sum_ j e. Z ( F ` j ) = sum_ k e. Z ( F ` k )
10	3	sumeq2dv 12049	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. Z ( F ` k ) = sum_ k e. Z A )
11	9, 10	eqtrid 2277	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. Z ( F ` j ) = sum_ k e. Z A )
12	7, 11	breqtrrd 4136	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ j e. Z ( F ` j ) )
13	3, 4	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
14		isumge0.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ A )
15	14, 3	breqtrrd 4136	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
16	1, 2, 12, 13, 15	iserge0 12024	. 2 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. Z ( F ` j ) )
17	16, 11	breqtrd 4134	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. Z A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   ` cfv 5351   RRcr 8125   0cc0 8126   + caddc 8129   <_ cle 8308   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   seqcseq 10808   ~~> cli 11959   sum_csu 12034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  12217  mertenslem2  12218  trilpolemlt1  16817  nconstwlpolemgt0  16841