ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumge0 Unicode version

Theorem isumge0 11206
Description: An infinite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumrecl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumrecl.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
isumrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
isumrecl.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
isumge0.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
isumge0  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  Z  A )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem isumge0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isumrecl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 isumrecl.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 isumrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  RR )
54recnd 7801 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
6 isumrecl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 11198 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  Z  A )
8 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
98cbvsumv 11137 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  Z  ( F `  j )  =  sum_ k  e.  Z  ( F `  k )
103sumeq2dv 11144 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( F `  k )  =  sum_ k  e.  Z  A )
119, 10syl5eq 2184 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  Z  ( F `  j )  =  sum_ k  e.  Z  A )
127, 11breqtrrd 3956 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ j  e.  Z  ( F `  j ) )
133, 4eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
14 isumge0.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  A )
1514, 3breqtrrd 3956 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  ( F `  k
) )
161, 2, 12, 13, 15iserge0 11119 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ j  e.  Z  ( F `  j ) )
1716, 11breqtrd 3954 1  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  Z  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ` cfv 5123   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333    seqcseq 10225    ~~> cli 11054   sum_csu 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11311  mertenslem2  11312  trilpolemlt1  13248
  Copyright terms: Public domain W3C validator