Theorem cnmpt21f 12932

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21f.f	|- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, L, y   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt21.k	. 2 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt21.a	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
4		cnmpt21f.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )
5		cntop1 12841	. . . 4 |- ( F e. ( L Cn M ) -> L e. Top )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L e. Top )
7		toptopon2 12657	. . 3 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
8	6, 7	sylib 121	. 2 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
9		eqid 2165	. . . . . 6 |- U. L = U. L
10		eqid 2165	. . . . . 6 |- U. M = U. M
11	9, 10	cnf 12844	. . . . 5 |- ( F e. ( L Cn M ) -> F : U. L --> U. M )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : U. L --> U. M )
13	12	feqmptd 5539	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) )
14	13, 4	eqeltrrd 2244	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) e. ( L Cn M ) )
15		fveq2 5486	. 2 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
16	1, 2, 3, 8, 14, 15	cnmpt21 12931	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  cnmpt22  12934  txhmeo  12959