Theorem cnmpt21f 13685

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21f.f	|- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, L, y   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt21.k	. 2 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt21.a	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
4		cnmpt21f.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )
5		cntop1 13594	. . . 4 |- ( F e. ( L Cn M ) -> L e. Top )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L e. Top )
7		toptopon2 13410	. . 3 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
8	6, 7	sylib 122	. 2 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
9		eqid 2177	. . . . . 6 |- U. L = U. L
10		eqid 2177	. . . . . 6 |- U. M = U. M
11	9, 10	cnf 13597	. . . . 5 |- ( F e. ( L Cn M ) -> F : U. L --> U. M )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : U. L --> U. M )
13	12	feqmptd 5569	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) )
14	13, 4	eqeltrrd 2255	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) e. ( L Cn M ) )
15		fveq2 5515	. 2 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
16	1, 2, 3, 8, 14, 15	cnmpt21 13684	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   U.cuni 3809   |-> cmpt 4064   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876   Topctop 13388  TopOnctopon 13401   Cn ccn 13578   tX ctx 13645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-topgen 12699  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-cn 13581  df-tx 13646

This theorem is referenced by:  cnmpt22  13687  txhmeo  13712