Theorem cnmpt21f 13086

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt21f.f	|- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, L, y   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmpt21.k	. 2 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		cnmpt21.a	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
4		cnmpt21f.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( L Cn M ) )
5		cntop1 12995	. . . 4 |- ( F e. ( L Cn M ) -> L e. Top )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> L e. Top )
7		toptopon2 12811	. . 3 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
8	6, 7	sylib 121	. 2 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
9		eqid 2170	. . . . . 6 |- U. L = U. L
10		eqid 2170	. . . . . 6 |- U. M = U. M
11	9, 10	cnf 12998	. . . . 5 |- ( F e. ( L Cn M ) -> F : U. L --> U. M )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : U. L --> U. M )
13	12	feqmptd 5549	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) )
14	13, 4	eqeltrrd 2248	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. L |-> ( F ` z ) ) e. ( L Cn M ) )
15		fveq2 5496	. 2 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
16	1, 2, 3, 8, 14, 15	cnmpt21 13085	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( F ` A ) ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-tx 13047

This theorem is referenced by:  cnmpt22  13088  txhmeo  13113