Theorem cnmpt22 14530

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
cnmpt22.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt22.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
cnmpt22.c	|- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
cnmpt22.d	|- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt22	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Distinct variable groups:   z, w, A   w, B   w, D, z   z, J   x, w, y, z, L   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   w, M, x, y, z   w, N, x, y, z   w, Y, x, y, z   z, K   w, W, x, y, z   w, Z, x, y, z   z, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( x, y)   B( x, y)   C( z, w)   D( x, y)   J( x, y, w)   K( x, y, w)

Proof of Theorem cnmpt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5925	. . . 4 |- ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. )
2		cnmpt21.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt21.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		txtopon 14498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6		cnmpt22.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
7		cnmpt21.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
8		cnf2 14441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
10		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
11	10	fmpo 6259	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12	9, 11	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
13		rsp2 2547	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
15	14	3impib 1203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z )
16		cnmpt22.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
17		cnmpt2t.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
18		cnf2 14441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` W ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
19	5, 16, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
20		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	20	fmpo 6259	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
22	19, 21	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. W )
23		rsp2 2547	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
25	24	3impib 1203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W )
26	15, 25	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A e. Z /\ B e. W ) )
27		txtopon 14498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` W ) ) -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
28	6, 16, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
29		cnmpt22.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
30		cntop2 14438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) -> N e. Top )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. Top )
32		toptopon2 14255	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Top <-> N e. (TopOn ` U. N ) )
33	31, 32	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. (TopOn ` U. N ) )
34		cnf2 14441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) /\ N e. (TopOn ` U. N ) /\ ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) ) -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
35	28, 33, 29, 34	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
36		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Z , w e. W |-> C ) = ( z e. Z , w e. W |-> C )
37	36	fmpo 6259	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. Z A. w e. W C e. U. N )
39		r2al 2516	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
40	38, 39	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
41	40	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
42		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z e. Z <-> A e. Z ) )
43		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 |- ( w = B -> ( w e. W <-> B e. W ) )
44	42, 43	bi2anan9 606	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( z e. Z /\ w e. W ) <-> ( A e. Z /\ B e. W ) ) )
45		cnmpt22.d	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )
46	45	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( C e. U. N <-> D e. U. N ) )
47	44, 46	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) <-> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
48	47	spc2gv 2855	. . . . . 6 |- ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> ( A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) -> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
49	26, 41, 26, 48	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> D e. U. N )
50	45, 36	ovmpoga 6052	. . . . 5 |- ( ( A e. Z /\ B e. W /\ D e. U. N ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
51	15, 25, 49, 50	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
52	1, 51	eqtr3id 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) = D )
53	52	mpoeq3dva 5986	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> D ) )
54	2, 3, 7, 17	cnmpt2t 14529	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
55	2, 3, 54, 29	cnmpt21f 14528	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )
56	53, 55	eqeltrrd 2274	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   <.cop 3625   U.cuni 3839   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   tX ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-tx 14489

This theorem is referenced by:  cnmpt22f  14531