Theorem cnmpt22 12934

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
cnmpt22.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmpt22.m	|- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
cnmpt22.c	|- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
cnmpt22.d	|- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt22	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Distinct variable groups:   z, w, A   w, B   w, D, z   z, J   x, w, y, z, L   ph, x, y, z   w, X, x, y, z   w, M, x, y, z   w, N, x, y, z   w, Y, x, y, z   z, K   w, W, x, y, z   w, Z, x, y, z   z, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( x, y)   B( x, y)   C( z, w)   D( x, y)   J( x, y, w)   K( x, y, w)

Proof of Theorem cnmpt22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5845	. . . 4 |- ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. )
2		cnmpt21.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt21.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		txtopon 12902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6		cnmpt22.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
7		cnmpt21.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
8		cnf2 12845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
10		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
11	10	fmpo 6169	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> Z )
12	9, 11	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. Z )
13		rsp2 2516	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. Z -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z ) )
15	14	3impib 1191	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. Z )
16		cnmpt22.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. (TopOn ` W ) )
17		cnmpt2t.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
18		cnf2 12845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` W ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
19	5, 16, 17, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
20		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	20	fmpo 6169	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> W )
22	19, 21	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. W )
23		rsp2 2516	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. W -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W ) )
25	24	3impib 1191	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. W )
26	15, 25	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A e. Z /\ B e. W ) )
27		txtopon 12902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. (TopOn ` Z ) /\ M e. (TopOn ` W ) ) -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
28	6, 16, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) )
29		cnmpt22.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) )
30		cntop2 12842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) -> N e. Top )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. Top )
32		toptopon2 12657	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Top <-> N e. (TopOn ` U. N ) )
33	31, 32	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. (TopOn ` U. N ) )
34		cnf2 12845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L tX M ) e. (TopOn ` ( Z X. W ) ) /\ N e. (TopOn ` U. N ) /\ ( z e. Z , w e. W |-> C ) e. ( ( L tX M ) Cn N ) ) -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
35	28, 33, 29, 34	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
36		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Z , w e. W |-> C ) = ( z e. Z , w e. W |-> C )
37	36	fmpo 6169	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> ( z e. Z , w e. W |-> C ) : ( Z X. W ) --> U. N )
38	35, 37	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. Z A. w e. W C e. U. N )
39		r2al 2485	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. Z A. w e. W C e. U. N <-> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
40	38, 39	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
41	40	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) )
42		eleq1 2229	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( z e. Z <-> A e. Z ) )
43		eleq1 2229	. . . . . . . . 9 |- ( w = B -> ( w e. W <-> B e. W ) )
44	42, 43	bi2anan9 596	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( z e. Z /\ w e. W ) <-> ( A e. Z /\ B e. W ) ) )
45		cnmpt22.d	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> C = D )
46	45	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( C e. U. N <-> D e. U. N ) )
47	44, 46	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) <-> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
48	47	spc2gv 2817	. . . . . 6 |- ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> ( A. z A. w ( ( z e. Z /\ w e. W ) -> C e. U. N ) -> ( ( A e. Z /\ B e. W ) -> D e. U. N ) ) )
49	26, 41, 26, 48	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> D e. U. N )
50	45, 36	ovmpoga 5971	. . . . 5 |- ( ( A e. Z /\ B e. W /\ D e. U. N ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
51	15, 25, 49, 50	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( A ( z e. Z , w e. W |-> C ) B ) = D )
52	1, 51	eqtr3id 2213	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) = D )
53	52	mpoeq3dva 5906	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> D ) )
54	2, 3, 7, 17	cnmpt2t 12933	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
55	2, 3, 54, 29	cnmpt21f 12932	. 2 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( z e. Z , w e. W |-> C ) ` <. A , B >. ) ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )
56	53, 55	eqeltrrd 2244	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> D ) e. ( ( J tX K ) Cn N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   <.cop 3579   U.cuni 3789   X. cxp 4602   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  cnmpt22f  12935