Theorem cntop1 14927

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	|- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2231	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 14926	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   A.wral 2510   U.cuni 3893   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322  (class class class)co 6018   Topctop 14723   Cn ccn 14911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-top 14724  df-topon 14737  df-cn 14914

This theorem is referenced by:  cnco  14947  cnclima  14949  cnntri  14950  cnss2  14953  cncnpi  14954  cncnp2m  14957  cnrest  14961  cnrest2  14962  cnrest2r  14963  lmcn  14977  txcnmpt  14999  uptx  15000  txcn  15001  cnmpt21f  15018  hmeof1o  15035  hmeores  15041  txhmeo  15045