Theorem cntop1 12359

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	|- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2137	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2137	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 12358	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 272	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simpld 111	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2414   U.cuni 3731   `'ccnv 4533   "cima 4537   -->wf 5114  (class class class)co 5767   Topctop 12153   Cn ccn 12343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-top 12154  df-topon 12167  df-cn 12346

This theorem is referenced by:  cnco  12379  cnclima  12381  cnntri  12382  cnss2  12385  cncnpi  12386  cncnp2m  12389  cnrest  12393  cnrest2  12394  cnrest2r  12395  lmcn  12409  txcnmpt  12431  uptx  12432  txcn  12433  cnmpt21f  12450  hmeof1o  12467  hmeores  12473  txhmeo  12477