Theorem cntop1 15083

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	|- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2234	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 15082	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 274	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simpld 112	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   A.wral 2522   U.cuni 3916   `'ccnv 4750   "cima 4754   -->wf 5350  (class class class)co 6052   Topctop 14879   Cn ccn 15067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-top 14880  df-topon 14893  df-cn 15070

This theorem is referenced by:  cnco  15103  cnclima  15105  cnntri  15106  cnss2  15109  cncnpi  15110  cncnp2m  15113  cnrest  15117  cnrest2  15118  cnrest2r  15119  lmcn  15133  txcnmpt  15155  uptx  15156  txcn  15157  cnmpt21f  15174  hmeof1o  15191  hmeores  15197  txhmeo  15201