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Theorem cnmpt2t 12451
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt2t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, M, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. u ,  v >.
) )
2 df-ov 5770 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. u ,  v
>. )
31, 2syl6eqr 2188 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) )
4 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  <. u ,  v >.
) )
5 df-ov 5770 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 <. u ,  v
>. )
64, 5syl6eqr 2188 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) )
73, 6opeq12d 3708 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >.  =  <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )
87mpompt 5856 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  <.
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >. )
9 nfcv 2279 . . . . . . 7  |-  F/_ x u
10 nfmpo1 5831 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
11 nfcv 2279 . . . . . . 7  |-  F/_ x
v
129, 10, 11nfov 5794 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
13 nfmpo1 5831 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
149, 13, 11nfov 5794 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
1512, 14nfop 3716 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
16 nfcv 2279 . . . . . . 7  |-  F/_ y
u
17 nfmpo2 5832 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
18 nfcv 2279 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
1916, 17, 18nfov 5794 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
20 nfmpo2 5832 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2116, 20, 18nfov 5794 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
2219, 21nfop 3716 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
23 nfcv 2279 . . . . 5  |-  F/_ u <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
24 nfcv 2279 . . . . 5  |-  F/_ v <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
25 oveq12 5776 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) )
26 oveq12 5776 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) )
2725, 26opeq12d 3708 . . . . 5  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  -> 
<. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.  =  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )
>. )
2815, 22, 23, 24, 27cbvmpo 5843 . . . 4  |-  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  <. (
u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
298, 28eqtri 2158 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
30 cnmpt21.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 cnmpt21.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32 txtopon 12420 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3330, 31, 32syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
34 toponuni 12171 . . . 4  |-  ( ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( J  tX  K ) )
35 mpteq1 4007 . . . 4  |-  ( ( X  X.  Y )  =  U. ( J 
tX  K )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
3633, 34, 353syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
37 simp2 982 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
38 simp3 983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  y  e.  Y )
39 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
40 cntop2 12360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
42 toptopon2 12175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
4341, 42sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
44 cnf2 12363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
4533, 43, 39, 44syl3anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
46 eqid 2137 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
4746fmpo 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
4845, 47sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
49 rsp2 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L ) )
5048, 49syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L ) )
51503impib 1179 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L )
5246ovmpt4g 5886 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5337, 38, 51, 52syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
54 cnmpt2t.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
55 cntop2 12360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
5654, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
57 toptopon2 12175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
5856, 57sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
59 cnf2 12363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
6033, 58, 54, 59syl3anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
61 eqid 2137 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
6261fmpo 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
6360, 62sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M )
64 rsp2 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  U. M ) )
66653impib 1179 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M )
6761ovmpt4g 5886 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  B  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
6837, 38, 66, 67syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
6953, 68opeq12d 3708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y ) >.  =  <. A ,  B >. )
7069mpoeq3dva 5828 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
7129, 36, 703eqtr3a 2194 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
72 eqid 2137 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
73 eqid 2137 . . . 4  |-  ( z  e.  U. ( J 
tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  =  ( z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )
7472, 73txcnmpt 12431 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( L 
tX  M ) ) )
7539, 54, 74syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
7671, 75eqeltrrd 2215 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   <.cop 3525   U.cuni 3731    |-> cmpt 3984    X. cxp 4532   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769   Topctop 12153  TopOnctopon 12166    Cn ccn 12343    tX ctx 12410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-topgen 12130  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-cn 12346  df-tx 12411
This theorem is referenced by:  cnmpt22  12452  txhmeo  12477  txswaphmeo  12479
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