Theorem cnmpt2t 13954

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2t	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. ) )
2		df-ov 5881	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. )
3	1, 2	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) )
4		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. ) )
5		df-ov 5881	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. )
6	4, 5	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) )
7	3, 6	opeq12d 3788	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. = <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
8	7	mpompt 5970	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
9		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ x u
10		nfmpo1 5945	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
11		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ x v
12	9, 10, 11	nfov 5908	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
13		nfmpo1 5945	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> B )
14	9, 13, 11	nfov 5908	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
15	12, 14	nfop 3796	. . . . 5 |- F/_ x <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
16		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ y u
17		nfmpo2 5946	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
18		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ y v
19	16, 17, 18	nfov 5908	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
20		nfmpo2 5946	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	16, 20, 18	nfov 5908	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
22	19, 21	nfop 3796	. . . . 5 |- F/_ y <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
23		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ u <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
24		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ v <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
25		oveq12 5887	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) )
26		oveq12 5887	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) )
27	25, 26	opeq12d 3788	. . . . 5 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. = <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
28	15, 22, 23, 24, 27	cbvmpo 5957	. . . 4 |- ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
29	8, 28	eqtri 2198	. . 3 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
30		cnmpt21.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
31		cnmpt21.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		txtopon 13923	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
34		toponuni 13676	. . . 4 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
35		mpteq1 4089	. . . 4 |- ( ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
36	33, 34, 35	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
37		simp2 998	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> x e. X )
38		simp3 999	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
39		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
40		cntop2 13863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. Top )
42		toptopon2 13680	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
44		cnf2 13866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
45	33, 43, 39, 44	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
46		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
47	46	fmpo 6205	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
48	45, 47	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. U. L )
49		rsp2 2527	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
51	50	3impib 1201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L )
52	46	ovmpt4g 6000	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	37, 38, 51, 52	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54		cnmpt2t.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
55		cntop2 13863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) -> M e. Top )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Top )
57		toptopon2 13680	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
58	56, 57	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
59		cnf2 13866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
60	33, 58, 54, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
61		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
62	61	fmpo 6205	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. U. M )
64		rsp2 2527	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
66	65	3impib 1201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M )
67	61	ovmpt4g 6000	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ B e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
68	37, 38, 66, 67	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
69	53, 68	opeq12d 3788	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. = <. A , B >. )
70	69	mpoeq3dva 5942	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
71	29, 36, 70	3eqtr3a 2234	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
72		eqid 2177	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
73		eqid 2177	. . . 4 |- ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. )
74	72, 73	txcnmpt 13934	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
75	39, 54, 74	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
76	71, 75	eqeltrrd 2255	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   <.cop 3597   U.cuni 3811   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   e. cmpo 5880   Topctop 13658  TopOnctopon 13671   Cn ccn 13846   tX ctx 13913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-map 6653  df-topgen 12715  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-cn 13849  df-tx 13914

This theorem is referenced by:  cnmpt22  13955  txhmeo  13980  txswaphmeo  13982