Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt2t Unicode version

Theorem cnmpt2t 12451
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j TopOn
cnmpt21.k TopOn
cnmpt21.a
cnmpt2t.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2t
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5414 . . . . . . 7
2 df-ov 5770 . . . . . . 7
31, 2syl6eqr 2188 . . . . . 6
4 fveq2 5414 . . . . . . 7
5 df-ov 5770 . . . . . . 7
64, 5syl6eqr 2188 . . . . . 6
73, 6opeq12d 3708 . . . . 5
87mpompt 5856 . . . 4
9 nfcv 2279 . . . . . . 7
10 nfmpo1 5831 . . . . . . 7
11 nfcv 2279 . . . . . . 7
129, 10, 11nfov 5794 . . . . . 6
13 nfmpo1 5831 . . . . . . 7
149, 13, 11nfov 5794 . . . . . 6
1512, 14nfop 3716 . . . . 5
16 nfcv 2279 . . . . . . 7
17 nfmpo2 5832 . . . . . . 7
18 nfcv 2279 . . . . . . 7
1916, 17, 18nfov 5794 . . . . . 6
20 nfmpo2 5832 . . . . . . 7
2116, 20, 18nfov 5794 . . . . . 6
2219, 21nfop 3716 . . . . 5
23 nfcv 2279 . . . . 5
24 nfcv 2279 . . . . 5
25 oveq12 5776 . . . . . 6
26 oveq12 5776 . . . . . 6
2725, 26opeq12d 3708 . . . . 5
2815, 22, 23, 24, 27cbvmpo 5843 . . . 4
298, 28eqtri 2158 . . 3
30 cnmpt21.j . . . . 5 TopOn
31 cnmpt21.k . . . . 5 TopOn
32 txtopon 12420 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
3330, 31, 32syl2anc 408 . . . 4 TopOn
34 toponuni 12171 . . . 4 TopOn
35 mpteq1 4007 . . . 4
3633, 34, 353syl 17 . . 3
37 simp2 982 . . . . . 6
38 simp3 983 . . . . . 6
39 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . 12
40 cntop2 12360 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11
42 toptopon2 12175 . . . . . . . . . . 11 TopOn
4341, 42sylib 121 . . . . . . . . . 10 TopOn
44 cnf2 12363 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4533, 43, 39, 44syl3anc 1216 . . . . . . . . 9
46 eqid 2137 . . . . . . . . . 10
4746fmpo 6092 . . . . . . . . 9
4845, 47sylibr 133 . . . . . . . 8
49 rsp2 2480 . . . . . . . 8
5048, 49syl 14 . . . . . . 7
51503impib 1179 . . . . . 6
5246ovmpt4g 5886 . . . . . 6
5337, 38, 51, 52syl3anc 1216 . . . . 5
54 cnmpt2t.b . . . . . . . . . . . 12
55 cntop2 12360 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11
57 toptopon2 12175 . . . . . . . . . . 11 TopOn
5856, 57sylib 121 . . . . . . . . . 10 TopOn
59 cnf2 12363 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
6033, 58, 54, 59syl3anc 1216 . . . . . . . . 9
61 eqid 2137 . . . . . . . . . 10
6261fmpo 6092 . . . . . . . . 9
6360, 62sylibr 133 . . . . . . . 8
64 rsp2 2480 . . . . . . . 8
6563, 64syl 14 . . . . . . 7
66653impib 1179 . . . . . 6
6761ovmpt4g 5886 . . . . . 6
6837, 38, 66, 67syl3anc 1216 . . . . 5
6953, 68opeq12d 3708 . . . 4
7069mpoeq3dva 5828 . . 3
7129, 36, 703eqtr3a 2194 . 2
72 eqid 2137 . . . 4
73 eqid 2137 . . . 4
7472, 73txcnmpt 12431 . . 3
7539, 54, 74syl2anc 408 . 2
7671, 75eqeltrrd 2215 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414  cop 3525  cuni 3731   cmpt 3984   cxp 4532  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767   cmpo 5769  ctop 12153  TopOnctopon 12166   ccn 12343   ctx 12410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-topgen 12130  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-cn 12346  df-tx 12411 This theorem is referenced by:  cnmpt22  12452  txhmeo  12477  txswaphmeo  12479
 Copyright terms: Public domain W3C validator