Theorem cnmpt2t 15016

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2t	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. ) )
2		df-ov 6020	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. )
3	1, 2	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) )
4		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. ) )
5		df-ov 6020	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. )
6	4, 5	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) )
7	3, 6	opeq12d 3870	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. = <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
8	7	mpompt 6112	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
9		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ x u
10		nfmpo1 6087	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
11		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ x v
12	9, 10, 11	nfov 6047	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
13		nfmpo1 6087	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> B )
14	9, 13, 11	nfov 6047	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
15	12, 14	nfop 3878	. . . . 5 |- F/_ x <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
16		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ y u
17		nfmpo2 6088	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
18		nfcv 2374	. . . . . . 7 |- F/_ y v
19	16, 17, 18	nfov 6047	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
20		nfmpo2 6088	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	16, 20, 18	nfov 6047	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
22	19, 21	nfop 3878	. . . . 5 |- F/_ y <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
23		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ u <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
24		nfcv 2374	. . . . 5 |- F/_ v <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
25		oveq12 6026	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) )
26		oveq12 6026	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) )
27	25, 26	opeq12d 3870	. . . . 5 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. = <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
28	15, 22, 23, 24, 27	cbvmpo 6099	. . . 4 |- ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
29	8, 28	eqtri 2252	. . 3 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
30		cnmpt21.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
31		cnmpt21.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		txtopon 14985	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
34		toponuni 14738	. . . 4 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
35		mpteq1 4173	. . . 4 |- ( ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
36	33, 34, 35	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
37		simp2 1024	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> x e. X )
38		simp3 1025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
39		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
40		cntop2 14925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. Top )
42		toptopon2 14742	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
44		cnf2 14928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
45	33, 43, 39, 44	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
46		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
47	46	fmpo 6365	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
48	45, 47	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. U. L )
49		rsp2 2582	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
51	50	3impib 1227	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L )
52	46	ovmpt4g 6143	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	37, 38, 51, 52	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54		cnmpt2t.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
55		cntop2 14925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) -> M e. Top )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Top )
57		toptopon2 14742	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
58	56, 57	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
59		cnf2 14928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
60	33, 58, 54, 59	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
61		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
62	61	fmpo 6365	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. U. M )
64		rsp2 2582	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
66	65	3impib 1227	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M )
67	61	ovmpt4g 6143	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ B e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
68	37, 38, 66, 67	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
69	53, 68	opeq12d 3870	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. = <. A , B >. )
70	69	mpoeq3dva 6084	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
71	29, 36, 70	3eqtr3a 2288	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
72		eqid 2231	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
73		eqid 2231	. . . 4 |- ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. )
74	72, 73	txcnmpt 14996	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
75	39, 54, 74	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
76	71, 75	eqeltrrd 2309	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   <.cop 3672   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   Cn ccn 14908   tX ctx 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-topgen 13342  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-cn 14911  df-tx 14976

This theorem is referenced by:  cnmpt22  15017  txhmeo  15042  txswaphmeo  15044