Theorem cnmpt2t 15158

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2t	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. ) )
2		df-ov 6053	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. )
3	1, 2	eqtr4di 2283	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) )
4		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. ) )
5		df-ov 6053	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. )
6	4, 5	eqtr4di 2283	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) )
7	3, 6	opeq12d 3891	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. = <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
8	7	mpompt 6145	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
9		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x u
10		nfmpo1 6120	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
11		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x v
12	9, 10, 11	nfov 6080	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
13		nfmpo1 6120	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> B )
14	9, 13, 11	nfov 6080	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
15	12, 14	nfop 3899	. . . . 5 |- F/_ x <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
16		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ y u
17		nfmpo2 6121	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
18		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ y v
19	16, 17, 18	nfov 6080	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
20		nfmpo2 6121	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	16, 20, 18	nfov 6080	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
22	19, 21	nfop 3899	. . . . 5 |- F/_ y <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
23		nfcv 2384	. . . . 5 |- F/_ u <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
24		nfcv 2384	. . . . 5 |- F/_ v <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
25		oveq12 6059	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) )
26		oveq12 6059	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) )
27	25, 26	opeq12d 3891	. . . . 5 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. = <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
28	15, 22, 23, 24, 27	cbvmpo 6132	. . . 4 |- ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
29	8, 28	eqtri 2253	. . 3 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
30		cnmpt21.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
31		cnmpt21.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		txtopon 15127	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
34		toponuni 14880	. . . 4 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
35		mpteq1 4194	. . . 4 |- ( ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
36	33, 34, 35	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
37		simp2 1025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> x e. X )
38		simp3 1026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
39		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
40		cntop2 15067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. Top )
42		toptopon2 14884	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
44		cnf2 15070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
45	33, 43, 39, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
46		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
47	46	fmpo 6397	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
48	45, 47	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. U. L )
49		rsp2 2592	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
51	50	3impib 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L )
52	46	ovmpt4g 6176	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	37, 38, 51, 52	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54		cnmpt2t.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
55		cntop2 15067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) -> M e. Top )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Top )
57		toptopon2 14884	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
58	56, 57	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
59		cnf2 15070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
60	33, 58, 54, 59	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
61		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
62	61	fmpo 6397	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. U. M )
64		rsp2 2592	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
66	65	3impib 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M )
67	61	ovmpt4g 6176	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ B e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
68	37, 38, 66, 67	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
69	53, 68	opeq12d 3891	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. = <. A , B >. )
70	69	mpoeq3dva 6117	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
71	29, 36, 70	3eqtr3a 2289	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
72		eqid 2232	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
73		eqid 2232	. . . 4 |- ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. )
74	72, 73	txcnmpt 15138	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
75	39, 54, 74	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
76	71, 75	eqeltrrd 2310	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   <.cop 3692   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050   tX ctx 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053  df-tx 15118

This theorem is referenced by:  cnmpt22  15159  txhmeo  15184  txswaphmeo  15186