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Theorem cnmpt2t 12891
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt2t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, M, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5483 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. u ,  v >.
) )
2 df-ov 5842 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. u ,  v
>. )
31, 2eqtr4di 2215 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) )
4 fveq2 5483 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  <. u ,  v >.
) )
5 df-ov 5842 . . . . . . 7  |-  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 <. u ,  v
>. )
64, 5eqtr4di 2215 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `
 z )  =  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) )
73, 6opeq12d 3763 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >.  =  <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )
87mpompt 5928 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
u  e.  X , 
v  e.  Y  |->  <.
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >. )
9 nfcv 2306 . . . . . . 7  |-  F/_ x u
10 nfmpo1 5903 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
11 nfcv 2306 . . . . . . 7  |-  F/_ x
v
129, 10, 11nfov 5866 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
13 nfmpo1 5903 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
149, 13, 11nfov 5866 . . . . . 6  |-  F/_ x
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
1512, 14nfop 3771 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
16 nfcv 2306 . . . . . . 7  |-  F/_ y
u
17 nfmpo2 5904 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
18 nfcv 2306 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
1916, 17, 18nfov 5866 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )
20 nfmpo2 5904 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2116, 20, 18nfov 5866 . . . . . 6  |-  F/_ y
( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
2219, 21nfop 3771 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.
23 nfcv 2306 . . . . 5  |-  F/_ u <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
24 nfcv 2306 . . . . 5  |-  F/_ v <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >.
25 oveq12 5848 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) )
26 oveq12 5848 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  ->  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) )
2725, 26opeq12d 3763 . . . . 5  |-  ( ( u  =  x  /\  v  =  y )  -> 
<. ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v ) >.  =  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )
>. )
2815, 22, 23, 24, 27cbvmpo 5915 . . . 4  |-  ( u  e.  X ,  v  e.  Y  |->  <. (
u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) v ) ,  ( u ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) v )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
298, 28eqtri 2185 . . 3  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )
30 cnmpt21.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 cnmpt21.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32 txtopon 12860 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
3330, 31, 32syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
34 toponuni 12611 . . . 4  |-  ( ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( J  tX  K ) )
35 mpteq1 4063 . . . 4  |-  ( ( X  X.  Y )  =  U. ( J 
tX  K )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
3633, 34, 353syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( z  e. 
U. ( J  tX  K )  |->  <. (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z
) ,  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) `  z )
>. ) )
37 simp2 987 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
38 simp3 988 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  y  e.  Y )
39 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
40 cntop2 12800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
42 toptopon2 12615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
4341, 42sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
44 cnf2 12803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
4533, 43, 39, 44syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
46 eqid 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
4746fmpo 6164 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
4845, 47sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
49 rsp2 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L ) )
5048, 49syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L ) )
51503impib 1190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  U. L )
5246ovmpt4g 5958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5337, 38, 51, 52syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
54 cnmpt2t.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
55 cntop2 12800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
5654, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
57 toptopon2 12615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
5856, 57sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
59 cnf2 12803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
6033, 58, 54, 59syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
61 eqid 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
6261fmpo 6164 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
6360, 62sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M )
64 rsp2 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  U. M  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  U. M ) )
66653impib 1190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  U. M )
6761ovmpt4g 5958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  B  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
6837, 38, 66, 67syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y )  =  B )
6953, 68opeq12d 3763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  <. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  B ) y ) >.  =  <. A ,  B >. )
7069mpoeq3dva 5900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y ) ,  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) y ) >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
7129, 36, 703eqtr3a 2221 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. A ,  B >. ) )
72 eqid 2164 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
73 eqid 2164 . . . 4  |-  ( z  e.  U. ( J 
tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  =  ( z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )
7472, 73txcnmpt 12871 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  U. ( J  tX  K )  |->  <.
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z
) >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( L 
tX  M ) ) )
7539, 54, 74syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. ( J  tX  K ) 
|->  <. ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 z ) ,  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) `  z ) >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
7671, 75eqeltrrd 2242 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 967    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442   <.cop 3576   U.cuni 3786    |-> cmpt 4040    X. cxp 4599   -->wf 5181   ` cfv 5185  (class class class)co 5839    e. cmpo 5841   Topctop 12593  TopOnctopon 12606    Cn ccn 12783    tX ctx 12850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-map 6610  df-topgen 12570  df-top 12594  df-topon 12607  df-bases 12639  df-cn 12786  df-tx 12851
This theorem is referenced by:  cnmpt22  12892  txhmeo  12917  txswaphmeo  12919
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