Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt21f GIF version

Theorem cnmpt21f 12475
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt21.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt21.a (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21f.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
Assertion
Ref Expression
cnmpt21f (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21f
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmpt21.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt21.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 cnmpt21.a . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
4 cnmpt21f.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
5 cntop1 12384 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐿 ∈ Top)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ Top)
7 toptopon2 12200 . . 3 (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOn‘ 𝐿))
86, 7sylib 121 . 2 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘ 𝐿))
9 eqid 2139 . . . . . 6 𝐿 = 𝐿
10 eqid 2139 . . . . . 6 𝑀 = 𝑀
119, 10cnf 12387 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐹: 𝐿 𝑀)
124, 11syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝐿 𝑀)
1312feqmptd 5474 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 𝐿 ↦ (𝐹𝑧)))
1413, 4eqeltrrd 2217 . 2 (𝜑 → (𝑧 𝐿 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
15 fveq2 5421 . 2 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
161, 2, 3, 8, 14, 15cnmpt21 12474 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  ∪ cuni 3736   ↦ cmpt 3989  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  Topctop 12178  TopOnctopon 12191   Cn ccn 12368   ×t ctx 12435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12155  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cn 12371  df-tx 12436 This theorem is referenced by:  cnmpt22  12477  txhmeo  12502
 Copyright terms: Public domain W3C validator