ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnmpt21f GIF version

Theorem cnmpt21f 13452
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt21.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt21.a (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21f.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
Assertion
Ref Expression
cnmpt21f (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21f
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmpt21.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt21.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 cnmpt21.a . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
4 cnmpt21f.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
5 cntop1 13361 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐿 ∈ Top)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ Top)
7 toptopon2 13177 . . 3 (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOn‘ 𝐿))
86, 7sylib 122 . 2 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘ 𝐿))
9 eqid 2177 . . . . . 6 𝐿 = 𝐿
10 eqid 2177 . . . . . 6 𝑀 = 𝑀
119, 10cnf 13364 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐹: 𝐿 𝑀)
124, 11syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝐿 𝑀)
1312feqmptd 5565 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 𝐿 ↦ (𝐹𝑧)))
1413, 4eqeltrrd 2255 . 2 (𝜑 → (𝑧 𝐿 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
15 fveq2 5511 . 2 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
161, 2, 3, 8, 14, 15cnmpt21 13451 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148   cuni 3807  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cmpo 5871  Topctop 13155  TopOnctopon 13168   Cn ccn 13345   ×t ctx 13412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-topgen 12654  df-top 13156  df-topon 13169  df-bases 13201  df-cn 13348  df-tx 13413
This theorem is referenced by:  cnmpt22  13454  txhmeo  13479
  Copyright terms: Public domain W3C validator