Theorem cnmpt21f 14849

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt21.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt21.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21f.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt21.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		cnmpt21.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
4		cnmpt21f.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
5		cntop1 14758	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐿 ∈ Top)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Top)
7		toptopon2 14576	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOn‘∪ 𝐿))
8	6, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘∪ 𝐿))
9		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐿 = ∪ 𝐿
10		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑀 = ∪ 𝑀
11	9, 10	cnf 14761	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐹:∪ 𝐿⟶∪ 𝑀)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐿⟶∪ 𝑀)
13	12	feqmptd 5650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ∪ 𝐿 ↦ (𝐹‘𝑧)))
14	13, 4	eqeltrrd 2284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ 𝐿 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
15		fveq2 5594	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
16	1, 2, 3, 8, 14, 15	cnmpt21 14848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ∪ cuni 3859   ↦ cmpt 4116  ⟶wf 5281  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962   ∈ cmpo 5964  Topctop 14554  TopOnctopon 14567   Cn ccn 14742   ×_t ctx 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-topgen 13177  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600  df-cn 14745  df-tx 14810

This theorem is referenced by:  cnmpt22  14851  txhmeo  14876