Theorem cntzrcl 14159

Description: Reverse closure for elements of the centralizer. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrcl.b	|- B = ( Base ` M )
cntzrcl.z	|- Z = (Cntz ` M )

Assertion

Ref	Expression
cntzrcl	|- ( X e. ( Z ` S ) -> ( M e. _V /\ S C_ B ) )

Proof of Theorem cntzrcl

Dummy variables j x m y s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvm 5732	. . 3 |- ( X e. ( Z ` S ) -> E. j j e. Z )
2		df-cntz 14148	. . . . . 6 |- Cntz = ( m e. _V |-> ( s e. ~P ( Base ` m ) |-> { x e. ( Base ` m ) | A. y e. s ( x ( +g ` m ) y ) = ( y ( +g ` m ) x ) } ) )
3	2	mptrcl 5791	. . . . 5 |- ( j e. (Cntz ` M ) -> M e. _V )
4		cntzrcl.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` M )
5	3, 4	eleq2s 2333	. . . 4 |- ( j e. Z -> M e. _V )
6	5	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. j j e. Z -> M e. _V )
7	1, 6	syl 14	. 2 |- ( X e. ( Z ` S ) -> M e. _V )
8		cntzrcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
9		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
10	8, 9, 4	cntzfval 14152	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> Z = ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } ) )
11	7, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( X e. ( Z ` S ) -> Z = ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } ) )
12	11	dmeqd 4985	. . . . 5 |- ( X e. ( Z ` S ) -> dom Z = dom ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } ) )
13		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } ) = ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } )
14	13	dmmptss 5287	. . . . 5 |- dom ( x e. ~P B |-> { y e. B | A. z e. x ( y ( +g ` M ) z ) = ( z ( +g ` M ) y ) } ) C_ ~P B
15	12, 14	eqsstrdi 3300	. . . 4 |- ( X e. ( Z ` S ) -> dom Z C_ ~P B )
16		mptrel 4910	. . . . . 6 |- Rel ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) } )
17	8, 9, 4	cntzfval 14152	. . . . . . . 8 |- ( M e. _V -> Z = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) } ) )
18	7, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( X e. ( Z ` S ) -> Z = ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) } ) )
19	18	releqd 4861	. . . . . 6 |- ( X e. ( Z ` S ) -> ( Rel Z <-> Rel ( s e. ~P B |-> { x e. B | A. y e. s ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) } ) ) )
20	16, 19	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( X e. ( Z ` S ) -> Rel Z )
21		relelfvdm 5730	. . . . 5 |- ( ( Rel Z /\ X e. ( Z ` S ) ) -> S e. dom Z )
22	20, 21	mpancom 426	. . . 4 |- ( X e. ( Z ` S ) -> S e. dom Z )
23	15, 22	sseldd 3249	. . 3 |- ( X e. ( Z ` S ) -> S e. ~P B )
24	23	elpwid 3700	. 2 |- ( X e. ( Z ` S ) -> S C_ B )
25	7, 24	jca 306	1 |- ( X e. ( Z ` S ) -> ( M e. _V /\ S C_ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490  Cntzccntz 14146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-cntz 14148

This theorem is used by:  cntzssv  14160  cntzi  14162  resscntz  14166  cntzmhm  14173