Theorem decaddci2 8936

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci2.6	|- ( B + N ) = ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
decaddci2	|- ( M + N ) = ; D 0

Proof of Theorem decaddci2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
4		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
5		decaddci.5	. 2 |- ( A + 1 ) = D
6		0nn0 8686	. 2 |- 0 e. NN0
7		decaddci2.6	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 0
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decaddci 8935	1 |- ( M + N ) = ; D 0

Syntax hints:   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   0cc0 7348   1c1 7349   + caddc 7351   NN0cn0 8671  ;cdc 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-5 8482  df-6 8483  df-7 8484  df-8 8485  df-9 8486  df-n0 8672  df-dec 8876

This theorem is referenced by:  5t4e20  8976  6t5e30  8981  8t5e40  8992