Theorem decaddci2 9480

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci2.6	|- ( B + N ) = ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
decaddci2	|- ( M + N ) = ; D 0

Proof of Theorem decaddci2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
4		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
5		decaddci.5	. 2 |- ( A + 1 ) = D
6		0nn0 9226	. 2 |- 0 e. NN0
7		decaddci2.6	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 0
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	decaddci 9479	1 |- ( M + N ) = ; D 0

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5900   0cc0 7846   1c1 7847   + caddc 7849   NN0cn0 9211  ;cdc 9419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sub 8165  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-dec 9420

This theorem is referenced by:  5t4e20  9520  6t5e30  9525  8t5e40  9536