Theorem decaddci 9661

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci.6	|- C e. NN0
decaddci.7	|- ( B + N ) = ; 1 C

Assertion

Ref	Expression
decaddci	|- ( M + N ) = ; D C

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9407	. 2 |- 0 e. NN0
4		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
5		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9622	. 2 |- N = ; 0 N
7	1	nn0cni 9404	. . . . 5 |- A e. CC
8	7	addridi 8311	. . . 4 |- ( A + 0 ) = A
9	8	oveq1i 6023	. . 3 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = ( A + 1 )
10		decaddci.5	. . 3 |- ( A + 1 ) = D
11	9, 10	eqtri 2250	. 2 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = D
12		decaddci.6	. 2 |- C e. NN0
13		decaddci.7	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 C
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 9655	1 |- ( M + N ) = ; D C

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   NN0cn0 9392  ;cdc 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-dec 9602

This theorem is referenced by:  decaddci2  9662  6t4e24  9706  7t3e21  9710  7t5e35  9712  7t6e42  9713  8t3e24  9716  8t4e32  9717  8t7e56  9720  8t8e64  9721  9t3e27  9723  9t4e36  9724  9t5e45  9725  9t6e54  9726  9t7e63  9727  9t8e72  9728  9t9e81  9729  2exp8  12998  2exp11  12999  ex-exp  16259