Theorem decaddci 9787

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci.6	|- C e. NN0
decaddci.7	|- ( B + N ) = ; 1 C

Assertion

Ref	Expression
decaddci	|- ( M + N ) = ; D C

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9528	. 2 |- 0 e. NN0
4		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
5		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9748	. 2 |- N = ; 0 N
7	1	nn0cni 9525	. . . . 5 |- A e. CC
8	7	addridi 8431	. . . 4 |- ( A + 0 ) = A
9	8	oveq1i 6068	. . 3 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = ( A + 1 )
10		decaddci.5	. . 3 |- ( A + 1 ) = D
11	9, 10	eqtri 2255	. 2 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = D
12		decaddci.6	. 2 |- C e. NN0
13		decaddci.7	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 C
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 9781	1 |- ( M + N ) = ; D C

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   NN0cn0 9513  ;cdc 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728

This theorem is referenced by:  decaddci2  9788  6t4e24  9832  7t3e21  9836  7t5e35  9838  7t6e42  9839  8t3e24  9842  8t4e32  9843  8t7e56  9846  8t8e64  9847  9t3e27  9849  9t4e36  9850  9t5e45  9851  9t6e54  9852  9t7e63  9853  9t8e72  9854  9t9e81  9855  2exp8  13158  2exp11  13159  ex-exp  16621