Theorem decaddci 9266

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci.6	|- C e. NN0
decaddci.7	|- ( B + N ) = ; 1 C

Assertion

Ref	Expression
decaddci	|- ( M + N ) = ; D C

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9016	. 2 |- 0 e. NN0
4		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
5		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9227	. 2 |- N = ; 0 N
7	1	nn0cni 9013	. . . . 5 |- A e. CC
8	7	addid1i 7928	. . . 4 |- ( A + 0 ) = A
9	8	oveq1i 5792	. . 3 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = ( A + 1 )
10		decaddci.5	. . 3 |- ( A + 1 ) = D
11	9, 10	eqtri 2161	. 2 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = D
12		decaddci.6	. 2 |- C e. NN0
13		decaddci.7	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 C
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 9260	1 |- ( M + N ) = ; D C

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   NN0cn0 9001  ;cdc 9206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-dec 9207

This theorem is referenced by:  decaddci2  9267  6t4e24  9311  7t3e21  9315  7t5e35  9317  7t6e42  9318  8t3e24  9321  8t4e32  9322  8t7e56  9325  8t8e64  9326  9t3e27  9328  9t4e36  9329  9t5e45  9330  9t6e54  9331  9t7e63  9332  9t8e72  9333  9t9e81  9334  ex-exp  13110