ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddci Unicode version

Theorem decaddci 8906
Description: Add two numerals  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1  |-  A  e. 
NN0
decaddi.2  |-  B  e. 
NN0
decaddi.3  |-  N  e. 
NN0
decaddi.4  |-  M  = ; A B
decaddci.5  |-  ( A  +  1 )  =  D
decaddci.6  |-  C  e. 
NN0
decaddci.7  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
Assertion
Ref Expression
decaddci  |-  ( M  +  N )  = ; D C

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decaddi.2 . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 8658 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decaddi.3 . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decaddi.4 . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 8867 . 2  |-  N  = ; 0 N
71nn0cni 8655 . . . . 5  |-  A  e.  CC
87addid1i 7603 . . . 4  |-  ( A  +  0 )  =  A
98oveq1i 5644 . . 3  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
10 decaddci.5 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  D
119, 10eqtri 2108 . 2  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  D
12 decaddci.6 . 2  |-  C  e. 
NN0
13 decaddci.7 . 2  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 8900 1  |-  ( M  +  N )  = ; D C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5634   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332   NN0cn0 8643  ;cdc 8846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-5 8455  df-6 8456  df-7 8457  df-8 8458  df-9 8459  df-n0 8644  df-dec 8847
This theorem is referenced by:  decaddci2  8907  6t4e24  8951  7t3e21  8955  7t5e35  8957  7t6e42  8958  8t3e24  8961  8t4e32  8962  8t7e56  8965  8t8e64  8966  9t3e27  8968  9t4e36  8969  9t5e45  8970  9t6e54  8971  9t7e63  8972  9t8e72  8973  9t9e81  8974  ex-exp  11300
  Copyright terms: Public domain W3C validator