Theorem decaddci 9837

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	|- A e. NN0
decaddi.2	|- B e. NN0
decaddi.3	|- N e. NN0
decaddi.4	|- M = ; A B
decaddci.5	|- ( A + 1 ) = D
decaddci.6	|- C e. NN0
decaddci.7	|- ( B + N ) = ; 1 C

Assertion

Ref	Expression
decaddci	|- ( M + N ) = ; D C

Proof of Theorem decaddci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 |- A e. NN0
2		decaddi.2	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9578	. 2 |- 0 e. NN0
4		decaddi.3	. 2 |- N e. NN0
5		decaddi.4	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9798	. 2 |- N = ; 0 N
7	1	nn0cni 9575	. . . . 5 |- A e. CC
8	7	addridi 8468	. . . 4 |- ( A + 0 ) = A
9	8	oveq1i 6095	. . 3 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = ( A + 1 )
10		decaddci.5	. . 3 |- ( A + 1 ) = D
11	9, 10	eqtri 2259	. 2 |- ( ( A + 0 ) + 1 ) = D
12		decaddci.6	. 2 |- C e. NN0
13		decaddci.7	. 2 |- ( B + N ) = ; 1 C
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13	decaddc 9831	1 |- ( M + N ) = ; D C

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   NN0cn0 9563  ;cdc 9777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778

This theorem is used by:  decaddci2  9838  6t4e24  9882  7t3e21  9886  7t5e35  9888  7t6e42  9889  8t3e24  9892  8t4e32  9893  8t7e56  9896  8t8e64  9897  9t3e27  9899  9t4e36  9900  9t5e45  9901  9t6e54  9902  9t7e63  9903  9t8e72  9904  9t9e81  9905  2exp8  13214  2exp11  13215  log2ublem3  16085  log2ublog2  16086  ex-exp  16741