Theorem decbin3 9687

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin3	⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Proof of Theorem decbin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 9356	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		decbin.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		2nn0 9354	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		2p1e3 9212	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
5	2	decbin2 9686	. . . 4 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
6	5	eqcomi 2213	. . 3 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((4 · 𝐴) + 2)
7	1, 2, 3, 4, 6	numsuc 9559	. 2 ⊢ ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1) = ((4 · 𝐴) + 3)
8	7	eqcomi 2213	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  ℕ₀cn0 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-sub 8287  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338

This theorem is referenced by: (None)