Theorem decbin3 9081

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin3	⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Proof of Theorem decbin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 8755	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		decbin.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		2nn0 8753	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		2p1e3 8612	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
5	2	decbin2 9080	. . . 4 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
6	5	eqcomi 2093	. . 3 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((4 · 𝐴) + 2)
7	1, 2, 3, 4, 6	numsuc 8953	. 2 ⊢ ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1) = ((4 · 𝐴) + 3)
8	7	eqcomi 2093	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5668  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418  2c2 8536  3c3 8537  4c4 8538  ℕ₀cn0 8736

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-sub 7718  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737

This theorem is referenced by: (None)