Theorem decbin3 9735

Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
decbin.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decbin3	⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Proof of Theorem decbin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 9404	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		decbin.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		2nn0 9402	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		2p1e3 9260	. . 3 ⊢ (2 + 1) = 3
5	2	decbin2 9734	. . . 4 ⊢ ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
6	5	eqcomi 2233	. . 3 ⊢ (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((4 · 𝐴) + 2)
7	1, 2, 3, 4, 6	numsuc 9607	. 2 ⊢ ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1) = ((4 · 𝐴) + 3)
8	7	eqcomi 2233	1 ⊢ ((4 · 𝐴) + 3) = ((2 · ((2 · 𝐴) + 1)) + 1)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020  2c2 9177  3c3 9178  4c4 9179  ℕ₀cn0 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386

This theorem is referenced by: (None)