Theorem decmul2c 9354

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1c.e	|- E e. NN0
decmul2c.c	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
decmul2c.2	|- ( P x. B ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	|- ( P x. N ) = ; C D

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9306	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9292	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2178	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.e	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul2c.c	. . 3 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
11		decmul2c.2	. . . 4 |- ( P x. B ) = ; E D
12		dfdec10 9292	. . . 4 |- ; E D = ( (; 1 0 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2178	. . 3 |- ( P x. B ) = ( (; 1 0 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 9338	. 2 |- ( P x. N ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
15		dfdec10 9292	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2181	1 |- ( P x. N ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5821   0cc0 7726   1c1 7727   + caddc 7729   x. cmul 7731   NN0cn0 9084  ;cdc 9289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-sub 8042  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-5 8889  df-6 8890  df-7 8891  df-8 8892  df-9 8893  df-n0 9085  df-dec 9290

This theorem is referenced by:  decmulnc  9355