Theorem decmul2c 9773

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1c.e	|- E e. NN0
decmul2c.c	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
decmul2c.2	|- ( P x. B ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	|- ( P x. N ) = ; C D

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9725	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9711	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2253	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.e	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul2c.c	. . 3 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
11		decmul2c.2	. . . 4 |- ( P x. B ) = ; E D
12		dfdec10 9711	. . . 4 |- ; E D = ( (; 1 0 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2253	. . 3 |- ( P x. B ) = ( (; 1 0 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 9757	. 2 |- ( P x. N ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
15		dfdec10 9711	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2256	1 |- ( P x. N ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   NN0cn0 9495  ;cdc 9708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-dec 9709

This theorem is referenced by:  decmulnc  9774  2exp8  13129  2exp16  13131