Theorem decmul2c 9792

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1c.e	|- E e. NN0
decmul2c.c	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
decmul2c.2	|- ( P x. B ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	|- ( P x. N ) = ; C D

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9744	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9730	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2255	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.e	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul2c.c	. . 3 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
11		decmul2c.2	. . . 4 |- ( P x. B ) = ; E D
12		dfdec10 9730	. . . 4 |- ; E D = ( (; 1 0 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2255	. . 3 |- ( P x. B ) = ( (; 1 0 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 9776	. 2 |- ( P x. N ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
15		dfdec10 9730	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2258	1 |- ( P x. N ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   NN0cn0 9513  ;cdc 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728

This theorem is referenced by:  decmulnc  9793  2exp8  13158  2exp16  13160