ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1c Unicode version

Theorem decmul1c 9214
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p  |-  P  e. 
NN0
decmul1.a  |-  A  e. 
NN0
decmul1.b  |-  B  e. 
NN0
decmul1.n  |-  N  = ; A B
decmul1.0  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.e  |-  E  e. 
NN0
decmul1c.c  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
decmul1c.2  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c  |-  ( N  x.  P )  = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 9167 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 decmul1.p . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1.n . . . 4  |-  N  = ; A B
6 dfdec10 9153 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2138 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
8 decmul1.0 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.e . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul1c.c . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
11 decmul1c.2 . . . 4  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
12 dfdec10 9153 . . . 4  |- ; E D  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2138 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  D )
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 9198 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
15 dfdec10 9153 . 2  |- ; C D  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2141 1  |-  ( N  x.  P )  = ; C D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1316    e. wcel 1465  (class class class)co 5742   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593   NN0cn0 8945  ;cdc 9150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-dec 9151
This theorem is referenced by:  ex-fac  12867
  Copyright terms: Public domain W3C validator