Theorem decmul1c 9665

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1c.e	|- E e. NN0
decmul1c.c	|- ( ( A x. P ) + E ) = C
decmul1c.2	|- ( B x. P ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul1c	|- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9618	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9604	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2250	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.e	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul1c.c	. . 3 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
11		decmul1c.2	. . . 4 |- ( B x. P ) = ; E D
12		dfdec10 9604	. . . 4 |- ; E D = ( (; 1 0 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2250	. . 3 |- ( B x. P ) = ( (; 1 0 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul1c 9649	. 2 |- ( N x. P ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
15		dfdec10 9604	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2253	1 |- ( N x. P ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6013   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   NN0cn0 9392  ;cdc 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-dec 9602

This theorem is referenced by:  2exp8  12998  2exp11  12999  2exp16  13000  ex-fac  16260