ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1c Unicode version

Theorem decmul1c 9098
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p  |-  P  e. 
NN0
decmul1.a  |-  A  e. 
NN0
decmul1.b  |-  B  e. 
NN0
decmul1.n  |-  N  = ; A B
decmul1.0  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.e  |-  E  e. 
NN0
decmul1c.c  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
decmul1c.2  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c  |-  ( N  x.  P )  = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 9051 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 decmul1.p . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1.n . . . 4  |-  N  = ; A B
6 dfdec10 9037 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2120 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
8 decmul1.0 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.e . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul1c.c . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
11 decmul1c.2 . . . 4  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
12 dfdec10 9037 . . . 4  |- ; E D  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2120 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  D )
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 9082 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
15 dfdec10 9037 . 2  |- ; C D  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2123 1  |-  ( N  x.  P )  = ; C D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1299    e. wcel 1448  (class class class)co 5706   0cc0 7500   1c1 7501    + caddc 7503    x. cmul 7505   NN0cn0 8829  ;cdc 9034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-9 8644  df-n0 8830  df-dec 9035
This theorem is referenced by:  ex-fac  12543
  Copyright terms: Public domain W3C validator