Theorem decmul1c 9857

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	|- P e. NN0
decmul1.a	|- A e. NN0
decmul1.b	|- B e. NN0
decmul1.n	|- N = ; A B
decmul1.0	|- D e. NN0
decmul1c.e	|- E e. NN0
decmul1c.c	|- ( ( A x. P ) + E ) = C
decmul1c.2	|- ( B x. P ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul1c	|- ( N x. P ) = ; C D

Proof of Theorem decmul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9809	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decmul1.p	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1.a	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1.b	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9791	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2259	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8		decmul1.0	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.e	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul1c.c	. . 3 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
11		decmul1c.2	. . . 4 |- ( B x. P ) = ; E D
12		dfdec10 9791	. . . 4 |- ; E D = ( (; 1 0 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2259	. . 3 |- ( B x. P ) = ( (; 1 0 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul1c 9841	. 2 |- ( N x. P ) = ( (; 1 0 x. C ) + D )
15		dfdec10 9791	. 2 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2262	1 |- ( N x. P ) = ; C D

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   NN0cn0 9574  ;cdc 9788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789

This theorem is used by:  2exp8  13244  2exp11  13245  2exp16  13246  prmlem2  13263  631prm  13270  1259lem1  13271  1259lem2  13272  1259lem3  13273  1259lem4  13274  1259prm  13276  log2ublem3  16223  log2ublog2  16224  ex-fac  16947