Theorem nummul2c 9362

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	|- T e. NN0
nummul1c.2	|- P e. NN0
nummul1c.3	|- A e. NN0
nummul1c.4	|- B e. NN0
nummul1c.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )
nummul1c.6	|- D e. NN0
nummul1c.7	|- E e. NN0
nummul2c.7	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
nummul2c.8	|- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	|- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2		nummul1c.1	. . . . 5 |- T e. NN0
3		nummul1c.3	. . . . 5 |- A e. NN0
4		nummul1c.4	. . . . 5 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 9325	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2237	. . 3 |- N e. NN0
7	6	nn0cni 9117	. 2 |- N e. CC
8		nummul1c.2	. . 3 |- P e. NN0
9	8	nn0cni 9117	. 2 |- P e. CC
10		nummul1c.6	. . 3 |- D e. NN0
11		nummul1c.7	. . 3 |- E e. NN0
12	3	nn0cni 9117	. . . . . 6 |- A e. CC
13	12, 9	mulcomi 7896	. . . . 5 |- ( A x. P ) = ( P x. A )
14	13	oveq1i 5846	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + E ) = ( ( P x. A ) + E )
15		nummul2c.7	. . . 4 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
16	14, 15	eqtri 2185	. . 3 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
17	4	nn0cni 9117	. . . 4 |- B e. CC
18		nummul2c.8	. . . 4 |- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )
19	9, 17, 18	mulcomli 7897	. . 3 |- ( B x. P ) = ( ( T x. E ) + D )
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 9361	. 2 |- ( N x. P ) = ( ( T x. C ) + D )
21	7, 9, 20	mulcomli 7897	1 |- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   + caddc 7747   x. cmul 7749   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  decmul2c  9378