Theorem nummul2c 9433

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	|- T e. NN0
nummul1c.2	|- P e. NN0
nummul1c.3	|- A e. NN0
nummul1c.4	|- B e. NN0
nummul1c.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )
nummul1c.6	|- D e. NN0
nummul1c.7	|- E e. NN0
nummul2c.7	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
nummul2c.8	|- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	|- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2		nummul1c.1	. . . . 5 |- T e. NN0
3		nummul1c.3	. . . . 5 |- A e. NN0
4		nummul1c.4	. . . . 5 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 9396	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2250	. . 3 |- N e. NN0
7	6	nn0cni 9188	. 2 |- N e. CC
8		nummul1c.2	. . 3 |- P e. NN0
9	8	nn0cni 9188	. 2 |- P e. CC
10		nummul1c.6	. . 3 |- D e. NN0
11		nummul1c.7	. . 3 |- E e. NN0
12	3	nn0cni 9188	. . . . . 6 |- A e. CC
13	12, 9	mulcomi 7963	. . . . 5 |- ( A x. P ) = ( P x. A )
14	13	oveq1i 5885	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + E ) = ( ( P x. A ) + E )
15		nummul2c.7	. . . 4 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
16	14, 15	eqtri 2198	. . 3 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
17	4	nn0cni 9188	. . . 4 |- B e. CC
18		nummul2c.8	. . . 4 |- ( P x. B ) = ( ( T x. E ) + D )
19	9, 17, 18	mulcomli 7964	. . 3 |- ( B x. P ) = ( ( T x. E ) + D )
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 9432	. 2 |- ( N x. P ) = ( ( T x. C ) + D )
21	7, 9, 20	mulcomli 7964	1 |- ( P x. N ) = ( ( T x. C ) + D )

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   + caddc 7814   x. cmul 7816   NN0cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  decmul2c  9449