ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmulnc Unicode version

Theorem decmulnc 9042
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmulnc.n  |-  N  e. 
NN0
decmulnc.a  |-  A  e. 
NN0
decmulnc.b  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
decmulnc  |-  ( N  x. ; A B )  = ; ( N  x.  A
) ( N  x.  B )

Proof of Theorem decmulnc
StepHypRef Expression
1 decmulnc.n . 2  |-  N  e. 
NN0
2 decmulnc.a . 2  |-  A  e. 
NN0
3 decmulnc.b . 2  |-  B  e. 
NN0
4 eqid 2095 . 2  |- ; A B  = ; A B
51, 3nn0mulcli 8809 . 2  |-  ( N  x.  B )  e. 
NN0
6 0nn0 8786 . 2  |-  0  e.  NN0
71, 2nn0mulcli 8809 . . . 4  |-  ( N  x.  A )  e. 
NN0
87nn0cni 8783 . . 3  |-  ( N  x.  A )  e.  CC
98addid1i 7721 . 2  |-  ( ( N  x.  A )  +  0 )  =  ( N  x.  A
)
105dec0h 8997 . 2  |-  ( N  x.  B )  = ; 0
( N  x.  B
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10decmul2c 9041 1  |-  ( N  x. ; A B )  = ; ( N  x.  A
) ( N  x.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1296    e. wcel 1445  (class class class)co 5690   0cc0 7447    x. cmul 7452   NN0cn0 8771  ;cdc 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-9 8586  df-n0 8772  df-dec 8977
This theorem is referenced by:  11multnc  9043
  Copyright terms: Public domain W3C validator