Theorem decmulnc 9042

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	|- N e. NN0
decmulnc.a	|- A e. NN0
decmulnc.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	|- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 |- N e. NN0
2		decmulnc.a	. 2 |- A e. NN0
3		decmulnc.b	. 2 |- B e. NN0
4		eqid 2095	. 2 |- ; A B = ; A B
5	1, 3	nn0mulcli 8809	. 2 |- ( N x. B ) e. NN0
6		0nn0 8786	. 2 |- 0 e. NN0
7	1, 2	nn0mulcli 8809	. . . 4 |- ( N x. A ) e. NN0
8	7	nn0cni 8783	. . 3 |- ( N x. A ) e. CC
9	8	addid1i 7721	. 2 |- ( ( N x. A ) + 0 ) = ( N x. A )
10	5	dec0h 8997	. 2 |- ( N x. B ) = ; 0 ( N x. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9041	1 |- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Syntax hints:   = wceq 1296   e. wcel 1445  (class class class)co 5690   0cc0 7447   x. cmul 7452   NN0cn0 8771  ;cdc 8976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-7 8584  df-8 8585  df-9 8586  df-n0 8772  df-dec 8977

This theorem is referenced by:  11multnc  9043