Theorem decmulnc 9463

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	|- N e. NN0
decmulnc.a	|- A e. NN0
decmulnc.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	|- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 |- N e. NN0
2		decmulnc.a	. 2 |- A e. NN0
3		decmulnc.b	. 2 |- B e. NN0
4		eqid 2187	. 2 |- ; A B = ; A B
5	1, 3	nn0mulcli 9227	. 2 |- ( N x. B ) e. NN0
6		0nn0 9204	. 2 |- 0 e. NN0
7	1, 2	nn0mulcli 9227	. . . 4 |- ( N x. A ) e. NN0
8	7	nn0cni 9201	. . 3 |- ( N x. A ) e. CC
9	8	addid1i 8112	. 2 |- ( ( N x. A ) + 0 ) = ( N x. A )
10	5	dec0h 9418	. 2 |- ( N x. B ) = ; 0 ( N x. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9462	1 |- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2158  (class class class)co 5888   0cc0 7824   x. cmul 7829   NN0cn0 9189  ;cdc 9397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8143  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-n0 9190  df-dec 9398

This theorem is referenced by:  11multnc  9464