Theorem decmulnc 9843

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	|- N e. NN0
decmulnc.a	|- A e. NN0
decmulnc.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	|- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 |- N e. NN0
2		decmulnc.a	. 2 |- A e. NN0
3		decmulnc.b	. 2 |- B e. NN0
4		eqid 2238	. 2 |- ; A B = ; A B
5	1, 3	nn0mulcli 9601	. 2 |- ( N x. B ) e. NN0
6		0nn0 9578	. 2 |- 0 e. NN0
7	1, 2	nn0mulcli 9601	. . . 4 |- ( N x. A ) e. NN0
8	7	nn0cni 9575	. . 3 |- ( N x. A ) e. CC
9	8	addridi 8468	. 2 |- ( ( N x. A ) + 0 ) = ( N x. A )
10	5	dec0h 9798	. 2 |- ( N x. B ) = ; 0 ( N x. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9842	1 |- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   0cc0 8179   x. cmul 8184   NN0cn0 9563  ;cdc 9777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778

This theorem is used by:  11multnc  9844