Theorem decmulnc 9468

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	|- N e. NN0
decmulnc.a	|- A e. NN0
decmulnc.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	|- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 |- N e. NN0
2		decmulnc.a	. 2 |- A e. NN0
3		decmulnc.b	. 2 |- B e. NN0
4		eqid 2189	. 2 |- ; A B = ; A B
5	1, 3	nn0mulcli 9232	. 2 |- ( N x. B ) e. NN0
6		0nn0 9209	. 2 |- 0 e. NN0
7	1, 2	nn0mulcli 9232	. . . 4 |- ( N x. A ) e. NN0
8	7	nn0cni 9206	. . 3 |- ( N x. A ) e. CC
9	8	addid1i 8117	. 2 |- ( ( N x. A ) + 0 ) = ( N x. A )
10	5	dec0h 9423	. 2 |- ( N x. B ) = ; 0 ( N x. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9467	1 |- ( N x. ; A B ) = ; ( N x. A ) ( N x. B )

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5891   0cc0 7829   x. cmul 7834   NN0cn0 9194  ;cdc 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-sub 8148  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-dec 9403

This theorem is referenced by:  11multnc  9469