Theorem decmulnc 9446

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		decmulnc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmulnc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		eqid 2177	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5	1, 3	nn0mulcli 9210	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6		0nn0 9187	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	1, 2	nn0mulcli 9210	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9184	. . 3 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
9	8	addid1i 8095	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
10	5	dec0h 9401	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) = ;0(𝑁 · 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9445	1 ⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5872  0cc0 7808   · cmul 7813  ℕ₀cn0 9172  ;cdc 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-sub 8126  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-dec 9381

This theorem is referenced by:  11multnc  9447