Theorem decmulnc 9398

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		decmulnc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmulnc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		eqid 2170	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5	1, 3	nn0mulcli 9162	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6		0nn0 9139	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	1, 2	nn0mulcli 9162	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9136	. . 3 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
9	8	addid1i 8050	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
10	5	dec0h 9353	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) = ;0(𝑁 · 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9397	1 ⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5851  0cc0 7763   · cmul 7768  ℕ₀cn0 9124  ;cdc 9332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-sub 8081  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-5 8929  df-6 8930  df-7 8931  df-8 8932  df-9 8933  df-n0 9125  df-dec 9333

This theorem is referenced by:  11multnc  9399