Theorem decmulnc 9272

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		decmulnc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmulnc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		eqid 2140	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5	1, 3	nn0mulcli 9039	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6		0nn0 9016	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	1, 2	nn0mulcli 9039	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9013	. . 3 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
9	8	addid1i 7928	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
10	5	dec0h 9227	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) = ;0(𝑁 · 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9271	1 ⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  0cc0 7644   · cmul 7649  ℕ₀cn0 9001  ;cdc 9206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-dec 9207

This theorem is referenced by:  11multnc  9273