Theorem decmulnc 9822

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		decmulnc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmulnc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		eqid 2238	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5	1, 3	nn0mulcli 9580	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6		0nn0 9557	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	1, 2	nn0mulcli 9580	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9554	. . 3 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
9	8	addridi 8458	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
10	5	dec0h 9777	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) = ;0(𝑁 · 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9821	1 ⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  0cc0 8169   · cmul 8174  ℕ₀cn0 9542  ;cdc 9756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-dec 9757

This theorem is referenced by:  11multnc  9823