Theorem decmulnc 9632

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmulnc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decmulnc	⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Proof of Theorem decmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decmulnc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
2		decmulnc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decmulnc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		eqid 2229	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5	1, 3	nn0mulcli 9395	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℕ0
6		0nn0 9372	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	1, 2	nn0mulcli 9395	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9369	. . 3 ⊢ (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ
9	8	addridi 8276	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) + 0) = (𝑁 · 𝐴)
10	5	dec0h 9587	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝐵) = ;0(𝑁 · 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10	decmul2c 9631	1 ⊢ (𝑁 · ;𝐴𝐵) = ;(𝑁 · 𝐴)(𝑁 · 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 5994  0cc0 7987   · cmul 7992  ℕ₀cn0 9357  ;cdc 9566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-sub 8307  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-dec 9567

This theorem is referenced by:  11multnc  9633