Theorem elbl2ps 12550

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elbl2ps	|- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )

Proof of Theorem elbl2ps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elblps 12548	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
2	1	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
3	2	an32s 557	. . 3 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ P e. X ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
4	3	adantrr 470	. 2 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
5		simprr 521	. . 3 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> A e. X )
6	5	biantrurd 303	. 2 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( P D A ) < R <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )
7	4, 6	bitr4d 190	1 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ A e. X ) ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( P D A ) < R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RR*cxr 7792   < clt 7793  PsMetcpsmet 12137   ballcbl 12140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-psmet 12145  df-bl 12148

This theorem is referenced by:  elbl3ps  12552  blcomps  12554