ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elbl2ps GIF version

Theorem elbl2ps 14119
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elbl2ps (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem elbl2ps
StepHypRef Expression
1 elblps 14117 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
213expa 1204 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
32an32s 568 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
43adantrr 479 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
5 simprr 531 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
65biantrurd 305 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃𝐷𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
74, 6bitr4d 191 1 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„*cxr 8004   < clt 8005  PsMetcpsmet 13652  ballcbl 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-psmet 13660  df-bl 13663
This theorem is referenced by:  elbl3ps  14121  blcomps  14123
  Copyright terms: Public domain W3C validator