Theorem elbl 15256

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elbl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )

Proof of Theorem elbl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval 15254	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) = { x e. X | ( P D x ) < R } )
2	1	eleq2d 2302	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> A e. { x e. X | ( P D x ) < R } ) )
3		oveq2 6058	. . . 4 |- ( x = A -> ( P D x ) = ( P D A ) )
4	3	breq1d 4119	. . 3 |- ( x = A -> ( ( P D x ) < R <-> ( P D A ) < R ) )
5	4	elrab 2973	. 2 |- ( A e. { x e. X | ( P D x ) < R } <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) )
6	2, 5	bitrdi 196	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RR*cxr 8307   < clt 8308   *Metcxmet 14684   ballcbl 14686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-bl 14694

This theorem is referenced by:  elbl2  15258  xblpnf  15264  bldisj  15266  blgt0  15267  xblss2  15270  blhalf  15273  xblcntr  15279  xblm  15282  blininf  15289  blss  15293  blres  15299  xmetxpbl  15373  metcnp  15377  cnbl0  15399  bl2ioo  15415  cnopnap  15476