Theorem elbl 14863

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elbl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )

Proof of Theorem elbl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval 14861	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) = { x e. X | ( P D x ) < R } )
2	1	eleq2d 2275	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> A e. { x e. X | ( P D x ) < R } ) )
3		oveq2 5952	. . . 4 |- ( x = A -> ( P D x ) = ( P D A ) )
4	3	breq1d 4054	. . 3 |- ( x = A -> ( ( P D x ) < R <-> ( P D A ) < R ) )
5	4	elrab 2929	. 2 |- ( A e. { x e. X | ( P D x ) < R } <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) )
6	2, 5	bitrdi 196	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( A e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( A e. X /\ ( P D A ) < R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RR*cxr 8106   < clt 8107   *Metcxmet 14298   ballcbl 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-bl 14308

This theorem is referenced by:  elbl2  14865  xblpnf  14871  bldisj  14873  blgt0  14874  xblss2  14877  blhalf  14880  xblcntr  14886  xblm  14889  blininf  14896  blss  14900  blres  14906  xmetxpbl  14980  metcnp  14984  cnbl0  15006  bl2ioo  15022  cnopnap  15083