Theorem elcncf 14221

Description: Membership in the set of continuous complex functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfval 14220	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	eleq2d 2247	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } ) )
3		fveq1 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 5516	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` w ) = ( F ` w ) )
5	3, 4	oveq12d 5896	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
6	5	fveq2d 5521	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
7	6	breq1d 4015	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	rexralbidv 2503	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
10	9	2ralbidv 2501	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
11	10	elrab 2895	. . 3 |- ( F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
12	2, 11	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
13		cnex 7938	. . . . 5 |- CC e. _V
14	13	ssex 4142	. . . 4 |- ( B C_ CC -> B e. _V )
15	13	ssex 4142	. . . 4 |- ( A C_ CC -> A e. _V )
16		elmapg 6664	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
17	14, 15, 16	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
18	17	anbi1d 465	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
19	12, 18	bitrd 188	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   ^m cmap 6651   CCcc 7812   < clt 7995   - cmin 8131   RR+crp 9656   abscabs 11009   -cn->ccncf 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-map 6653  df-cncf 14219

This theorem is referenced by:  elcncf2  14222  cncff  14225  elcncf1di  14227  rescncf  14229  cncfmet  14240