Theorem elcncf 12768

Description: Membership in the set of continuous complex functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfval 12767	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	eleq2d 2210	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } ) )
3		fveq1 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` w ) = ( F ` w ) )
5	3, 4	oveq12d 5800	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
6	5	fveq2d 5433	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
7	6	breq1d 3947	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
8	7	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	rexralbidv 2464	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
10	9	2ralbidv 2462	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
11	10	elrab 2844	. . 3 |- ( F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
12	2, 11	syl6bb 195	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
13		cnex 7768	. . . . 5 |- CC e. _V
14	13	ssex 4073	. . . 4 |- ( B C_ CC -> B e. _V )
15	13	ssex 4073	. . . 4 |- ( A C_ CC -> A e. _V )
16		elmapg 6563	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
17	14, 15, 16	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
18	17	anbi1d 461	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
19	12, 18	bitrd 187	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ^m cmap 6550   CCcc 7642   < clt 7824   - cmin 7957   RR+crp 9470   abscabs 10801   -cn->ccncf 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552  df-cncf 12766

This theorem is referenced by:  elcncf2  12769  cncff  12772  elcncf1di  12774  rescncf  12776  cncfmet  12787