Theorem elcncf 13030

Description: Membership in the set of continuous complex functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfval 13029	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	eleq2d 2227	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } ) )
3		fveq1 5469	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 5469	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` w ) = ( F ` w ) )
5	3, 4	oveq12d 5844	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
6	5	fveq2d 5474	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
7	6	breq1d 3977	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
8	7	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	rexralbidv 2483	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
10	9	2ralbidv 2481	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
11	10	elrab 2868	. . 3 |- ( F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
12	2, 11	bitrdi 195	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
13		cnex 7858	. . . . 5 |- CC e. _V
14	13	ssex 4103	. . . 4 |- ( B C_ CC -> B e. _V )
15	13	ssex 4103	. . . 4 |- ( A C_ CC -> A e. _V )
16		elmapg 6608	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
17	14, 15, 16	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
18	17	anbi1d 461	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
19	12, 18	bitrd 187	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   class class class wbr 3967   -->wf 5168   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   ^m cmap 6595   CCcc 7732   < clt 7914   - cmin 8050   RR+crp 9566   abscabs 10908   -cn->ccncf 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-map 6597  df-cncf 13028

This theorem is referenced by:  elcncf2  13031  cncff  13034  elcncf1di  13036  rescncf  13038  cncfmet  13049