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Theorem elcncf 13354
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 
A to  B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elcncf  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, F, x, y, z    w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfval 13353 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
21eleq2d 2240 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  F  e.  { f  e.  ( B  ^m  A )  | 
A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } ) )
3 fveq1 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5495 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  w )  =  ( F `  w ) )
53, 4oveq12d 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( F `  w ) ) )
65fveq2d 5500 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ( abs `  ( ( f `
 x )  -  ( f `  w
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
76breq1d 3999 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
87imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98rexralbidv 2496 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1092ralbidv 2494 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1110elrab 2886 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  <->  ( F  e.  ( B  ^m  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
122, 11bitrdi 195 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F  e.  ( B  ^m  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
13 cnex 7898 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
1413ssex 4126 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
1513ssex 4126 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
16 elmapg 6639 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
F : A --> B ) )
1714, 15, 16syl2anr 288 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <->  F : A
--> B ) )
1817anbi1d 462 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  e.  ( B  ^m  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
1912, 18bitrd 187 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853    ^m cmap 6626   CCcc 7772    < clt 7954    - cmin 8090   RR+crp 9610   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-cncf 13352
This theorem is referenced by:  elcncf2  13355  cncff  13358  elcncf1di  13360  rescncf  13362  cncfmet  13373
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