Theorem elcncf 15564

Description: Membership in the set of continuous complex functions from A to B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elcncf	|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, F, x, y, z   w, B, x, y, z

Proof of Theorem elcncf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfval 15563	. . . 4 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	eleq2d 2304	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } ) )
3		fveq1 5674	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
4		fveq1 5674	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` w ) = ( F ` w ) )
5	3, 4	oveq12d 6076	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) )
6	5	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) )
7	6	breq1d 4124	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
9	8	rexralbidv 2570	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
10	9	2ralbidv 2568	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
11	10	elrab 2976	. . 3 |- ( F e. { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) )
12	2, 11	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
13		cnex 8267	. . . . 5 |- CC e. _V
14	13	ssex 4252	. . . 4 |- ( B C_ CC -> B e. _V )
15	13	ssex 4252	. . . 4 |- ( A C_ CC -> A e. _V )
16		elmapg 6908	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
17	14, 15, 16	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( B ^m A ) <-> F : A --> B ) )
18	17	anbi1d 465	. 2 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F e. ( B ^m A ) /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )
19	12, 18	bitrd 188	1 |- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   CCcc 8141   < clt 8324   - cmin 8460   RR+crp 10004   abscabs 11707   -cn->ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897  df-cncf 15562

This theorem is referenced by:  elcncf2  15565  cncff  15568  elcncf1di  15570  rescncf  15572  cncfmet  15583