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Theorem fzdifsuc 10173
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzdifsuc
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10117 . . 3 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
21adantl 277 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
3 eldifi 3286 . . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4 elfzelz 10117 . . . 4 |- ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ZZ )
65adantl 277 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) -> k e. ZZ )
7 simpr 110 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
8 eluzel2 9623 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
98adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10 eluzelz 9627 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
1110adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 elfz 10106 . . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
14 eldif 3166 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) )
1511peano2zd 9468 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
16 elfz 10106 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
177, 9, 15, 16syl3anc 1249 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
18 velsn 3640 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { ( N + 1 ) } <-> k = ( N + 1 ) )
1918notbii 669 . . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> -. k = ( N + 1 ) )
20 nesym 2412 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) =/= k <-> -. k = ( N + 1 ) )
2119, 20bitr4i 187 . . . . . . . . 9 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k )
2221a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k ) )
2317, 22anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2414, 23bitrid 192 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
25 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2624, 25bitrdi 196 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
27 zltlen 9421 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
287, 15, 27syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2928anbi2d 464 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
3026, 29bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
31 zleltp1 9398 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
327, 11, 31syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
3332anbi2d 464 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
3430, 33bitr4d 191 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
3513, 34bitr4d 191 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) )
362, 6, 35eqrdav 2195 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3623   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101
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