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Theorem fzdifsuc 10083
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Proof of Theorem fzdifsuc
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10027 . . 3 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
21adantl 277 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
3 eldifi 3259 . . . 4 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
4 elfzelz 10027 . . . 4 |- ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) -> k e. ZZ )
65adantl 277 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) -> k e. ZZ )
7 simpr 110 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
8 eluzel2 9535 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
98adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> M e. ZZ )
10 eluzelz 9539 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
1110adantr 276 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12 elfz 10016 . . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
137, 9, 11, 12syl3anc 1238 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
14 eldif 3140 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) )
1511peano2zd 9380 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
16 elfz 10016 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
177, 9, 15, 16syl3anc 1238 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) ) )
18 velsn 3611 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { ( N + 1 ) } <-> k = ( N + 1 ) )
1918notbii 668 . . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> -. k = ( N + 1 ) )
20 nesym 2392 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) =/= k <-> -. k = ( N + 1 ) )
2119, 20bitr4i 187 . . . . . . . . 9 |- ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k )
2221a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( -. k e. { ( N + 1 ) } <-> ( N + 1 ) =/= k ) )
2317, 22anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2414, 23bitrid 192 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
25 anass 401 . . . . . 6 |- ( ( ( M <_ k /\ k <_ ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2624, 25bitrdi 196 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
27 zltlen 9333 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
287, 15, 27syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) )
2928anbi2d 464 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) <-> ( M <_ k /\ ( k <_ ( N + 1 ) /\ ( N + 1 ) =/= k ) ) ) )
3026, 29bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
31 zleltp1 9310 . . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
327, 11, 31syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
3332anbi2d 464 . . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) <-> ( M <_ k /\ k < ( N + 1 ) ) ) )
3430, 33bitr4d 191 . . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) <-> ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
3513, 34bitr4d 191 . 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> k e. ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) ) )
362, 6, 35eqrdav 2176 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( N + 1 ) ) \ { ( N + 1 ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011
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