Theorem fproddccvg 11754

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprodcvg.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fproddccvg	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fproddccvg

Dummy variables n v m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. 2 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
2		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzelz 9627	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		seqex 10558	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) e. _V )
7		eqid 2196	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9623	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
10		eluzelz 9627	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ZZ )
12		iftrue 3567	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
14		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
15	14	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
17		iffalse 3570	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
18		ax-1cn 7989	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
19	17, 18	eqeltrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
21		prodrbdc.dc	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
22		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
24	16, 20, 23	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
25		prodmo.1	. . . . . . 7 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
26	25	fvmpt2 5648	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
27	11, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
28	27, 24	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	7, 9, 28	prodf 11720	. . 3 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
30	29, 2	ffvelcdmd 5701	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
31		mulrid 8040	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
32	31	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
33	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
34		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
35	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
36	28	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
37	7, 35, 36	prodf 11720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
38	37, 33	ffvelcdmd 5701	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
39		elfzuz 10113	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
40		eluzelz 9627	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> m e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
42		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
43	42	sseld 3183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. A -> m e. ( M ... N ) ) )
44		fznuz 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( M ... N ) -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
45	43, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. A -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
46	45	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> -. m e. A ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. m e. A )
48	41, 47	eldifd 3167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ( ZZ \ A ) )
49		fveqeq2 5570	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 1 <-> ( F ` m ) = 1 ) )
50		eldifi 3286	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> k e. ZZ )
51		eldifn 3287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> -. k e. A )
52	51, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
53	52, 18	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
54	50, 53, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
55	54, 52	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = 1 )
56	49, 55	vtoclga 2830	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` m ) = 1 )
57	48, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
58	39, 57	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
59	58	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
60		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
61	60	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
62	28	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
63	62	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
64		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
65	61, 63, 64	rspcdva 2873	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
66		mulcl 8023	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ v e. CC ) -> ( m x. v ) e. CC )
67	66	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( m e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( m x. v ) e. CC )
68	32, 33, 34, 38, 59, 65, 67	seq3id2 10635	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) = ( seq M ( x. , F ) ` n ) )
69	68	eqcomd 2202	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` n ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
70	1, 4, 6, 30, 69	climconst 11472	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556   ~~> cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11758