Theorem fproddccvg 11715

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprodcvg.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fproddccvg	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fproddccvg

Dummy variables n v m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. 2 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
2		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzelz 9601	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		seqex 10520	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) e. _V )
7		eqid 2193	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9597	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
10		eluzelz 9601	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ZZ )
12		iftrue 3562	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
14		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
15	14	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
17		iffalse 3565	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
18		ax-1cn 7965	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
19	17, 18	eqeltrdi 2284	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
21		prodrbdc.dc	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
22		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
24	16, 20, 23	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
25		prodmo.1	. . . . . . 7 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
26	25	fvmpt2 5641	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
27	11, 24, 26	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
28	27, 24	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	7, 9, 28	prodf 11681	. . 3 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
30	29, 2	ffvelcdmd 5694	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
31		mulrid 8016	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
32	31	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
33	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
34		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
35	9	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
36	28	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
37	7, 35, 36	prodf 11681	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
38	37, 33	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
39		elfzuz 10087	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
40		eluzelz 9601	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> m e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
42		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
43	42	sseld 3178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. A -> m e. ( M ... N ) ) )
44		fznuz 10168	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( M ... N ) -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
45	43, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. A -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
46	45	con2d 625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> -. m e. A ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. m e. A )
48	41, 47	eldifd 3163	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ( ZZ \ A ) )
49		fveqeq2 5563	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 1 <-> ( F ` m ) = 1 ) )
50		eldifi 3281	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> k e. ZZ )
51		eldifn 3282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> -. k e. A )
52	51, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
53	52, 18	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
54	50, 53, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
55	54, 52	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = 1 )
56	49, 55	vtoclga 2826	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` m ) = 1 )
57	48, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
58	39, 57	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
59	58	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
60		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
61	60	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
62	28	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
63	62	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
64		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
65	61, 63, 64	rspcdva 2869	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
66		mulcl 7999	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ v e. CC ) -> ( m x. v ) e. CC )
67	66	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( m e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( m x. v ) e. CC )
68	32, 33, 34, 38, 59, 65, 67	seq3id2 10597	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) = ( seq M ( x. , F ) ` n ) )
69	68	eqcomd 2199	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` n ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
70	1, 4, 6, 30, 69	climconst 11433	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   \ cdif 3150   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   ~~> cli 11421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11719