Theorem fproddccvg 11464

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrbdc.dc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrb.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprodcvg.4	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fproddccvg	|- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fproddccvg

Dummy variables n v m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. 2 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
2		prodrb.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		eluzelz 9443	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		seqex 10341	. . 3 |- seq M ( x. , F ) e. _V
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) e. _V )
7		eqid 2157	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		eluzel2 9439	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
10		eluzelz 9443	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
11	10	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ZZ )
12		iftrue 3510	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
13	12	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
14		prodmo.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
15	14	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
17		iffalse 3513	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
18		ax-1cn 7820	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
19	17, 18	eqeltrdi 2248	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
20	19	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
21		prodrbdc.dc	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
22		exmiddc 822	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
24	16, 20, 23	mpjaodan 788	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
25		prodmo.1	. . . . . . 7 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
26	25	fvmpt2 5550	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
27	11, 24, 26	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
28	27, 24	eqeltrd 2234	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	7, 9, 28	prodf 11430	. . 3 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
30	29, 2	ffvelrnd 5602	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
31		mulid1 7870	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m x. 1 ) = m )
32	31	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. CC ) -> ( m x. 1 ) = m )
33	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
34		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
35	9	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
36	28	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
37	7, 35, 36	prodf 11430	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> seq M ( x. , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
38	37, 33	ffvelrnd 5602	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) e. CC )
39		elfzuz 9919	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
40		eluzelz 9443	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> m e. ZZ )
41	40	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ZZ )
42		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
43	42	sseld 3127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. A -> m e. ( M ... N ) ) )
44		fznuz 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( M ... N ) -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
45	43, 44	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. A -> -. m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
46	45	con2d 614	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> -. m e. A ) )
47	46	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. m e. A )
48	41, 47	eldifd 3112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. ( ZZ \ A ) )
49		fveqeq2 5476	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 1 <-> ( F ` m ) = 1 ) )
50		eldifi 3229	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> k e. ZZ )
51		eldifn 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> -. k e. A )
52	51, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
53	52, 18	eqeltrdi 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
54	50, 53, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
55	54, 52	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` k ) = 1 )
56	49, 55	vtoclga 2778	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ \ A ) -> ( F ` m ) = 1 )
57	48, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
58	39, 57	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
59	58	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( F ` m ) = 1 )
60		fveq2 5467	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
61	60	eleq1d 2226	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
62	28	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
63	62	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
64		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
65	61, 63, 64	rspcdva 2821	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
66		mulcl 7854	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ v e. CC ) -> ( m x. v ) e. CC )
67	66	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( m e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( m x. v ) e. CC )
68	32, 33, 34, 38, 59, 65, 67	seq3id2 10403	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` N ) = ( seq M ( x. , F ) ` n ) )
69	68	eqcomd 2163	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ` n ) = ( seq M ( x. , F ) ` N ) )
70	1, 4, 6, 30, 69	climconst 11182	1 |- ( ph -> seq M ( x. , F ) ~~> ( seq M ( x. , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   \ cdif 3099   C_ wss 3102   ifcif 3505   class class class wbr 3965   |-> cmpt 4025   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7725   1c1 7728   + caddc 7730   x. cmul 7732   ZZcz 9162   ZZ>=cuz 9434   ...cfz 9907   seqcseq 10339   ~~> cli 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-rp 9556  df-fz 9908  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-cj 10737  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171

This theorem is referenced by:  prodmodclem2a  11468